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非常经典的四道平面几何题，初中数学联赛难度

趣味数学题 · 公众号 · · 2025-01-02 22:43

正文

1、如下图1， △ ABC为正三角形，D、E为BC上的点，且有∠CAD=∠DAE=∠EAB,取AD的中点F，连接BF交AE于G，证明：∠ADG=30°

图1

证明：因为△ABC为正三角形，且有∠CAD=∠DAE=∠EAB所以有∠CAD=∠DAE=∠EAB=20°，故有∠ADE=∠DEA=80°，要证∠ADG=30°，即要证∠EDG=∠EGD=50°，等价证ED=EG.取BC中点H，连接FH，又F为AD中点，故 FH∥AE 且 AD=AE=2FH EG：FH=BE：BH=2BE：BC，即有 EG=AD・BE/BC，又由角平分线定理有AD：AB=ED：BE，故ED=AD・BE/AB 所以有 ED=EG 得证。

2、如下图2， △ ABD和 △ ACE均为正三角形，M、N分别为AD、EC的中点，在BC上取点G，使得BG=3CG，连接MG、GN，证明：∠MGN=90°

图2

提示：以BC为边，作等边三角形BCH，取CH中点P，连接PA。用相似SAS判定定理，有 △MBG∽△ABP ， △NCG∽△ACP ， ∠MGN=180°-（∠MGB+∠NGC）=90°

3、如下图3， △ ABC中∠ABC=90°，D为AC上一点，E为BD中点，且有∠AED=∠CED，证明：∠ADB=2∠ABD

图3

提示：过A点作BD的平行线交CB延长线于F，延长CE交AF于G 可证G为直角三角形FBA斜边的中点，可证△BEG≌△DEA，又可证∠ABD=∠ABG，得证。

4、如下图4， △

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