网格自适应的目标是通过修改网格实现更高效地求解。通常，我们希望使用尽可能少的网格单元获得精确解，在不太重要的区域使用较粗的网格，在感兴趣的区域使用精细网格。我们甚至可能会考虑使用各向异性单元。COMSOL Multiphysics® 软件包含了增强网格自适应的方法。这篇文章，让我们来看看如何使用这些方法。
要对网格进行自适应操作，必须知道所需的网格单元大小。然而，找到合适的网格大小并不容易，这需要进行大量的研究。对于稳态和特征值问题，我们可以使用 COMSOL Multiphysics 中的自适应和误差估计功能基于内置的误差估计自动调整网格。
COMSOL 软件中的网格自适应方法并不局限于使用内置的误差估计，它还具有更高地灵活性。您可以先在粗网格上求解一个较简单的问题，然后基于此解计算一个表达式来控制较难问题的单元大小。另外，还可以使用导入的插值函数或任何自定义表达式来控制单元大小。
本文我们不讨论这方面内容，而是假设已经知道所需的单元大小是 x，y 和 z（三维空间）的函数。也就是说，网格单元的边长由该边中点坐标的函数表达式确定。当然，一般情况下无法完全满足这一要求，即使是一个三角形单元也需要满足三角形不等式。但是，请记住：大小表达式代表空间中每个点所需的单元边长。
在 COMSOL Multiphysics 中的网格节点，可以通过 2 种不同的方法来构建适应大小表达式的网格。第一种方法，可以在网格划分序列中使用大小表达式属性来影响生成网格的大小。如果使用研究中的网格自适应功能，则相当于选择了重新生成网格选项，其中的自由网格生成器（自由三角形网格，自由四边形网格和自由四面体网格）会考虑网格大小。另一方面，例如映射、扫掠这样的结构化网格（在某种程度上，还有边界层）会忽略大小表达式属性，因为根据定义，结构化网格不遵循大小可变的字段。简单来说，如果我们构建的是结构化网格，不能使用此方法。
另一种方法是使用自适应操作。此操作通过单元细化和粗化来修改现有网格。我们可以在具有任何单元类型的网格以及导入的网格上使用自适应操作，这是一种功能更强大的方法，并且可能更好地遵循指定的大小表达式。但是，使用这种方法得到的结果通常不如从头开始生成的网格平滑。
接下来，我们来详细讨论这 2 种方法，并看看二者产生的结果有何不同。
如前文所述，使用大小表达式属性通常能获得高质量的网格。但是，如果这种方法产生的单元质量较差（在大小过渡较快时经常会出现这种情况），则可能无法达到所需的单元大小。有关网格质量的讨论，请阅读文章：如何检查 COMSOL Multiphysics® 中的网格质量。由于每次调整都是从头开始构建网格，因此对于复杂的几何结构，此过程可能非常耗时。
通过使用大小表达式属性，将其应用于圆形几何的三角形网格，从而获得高质量的网格单元和大小过渡平滑的网格。如果已知大小表达式（例如，一个全局插值函数），在背景栅格上进行计算通常很方便（上图中的网格基于栅格计算）。需要确保栅格分辨率足够高，才能捕获大小表达式描述的所有特征。
当大小表达式取决于已知的空间变化量（例如材料），可以使用初始表达式计算选项。这样，就可以使用模型中的任何表达式。软件将在求解前计算表达式（与可用于研究步骤的 “获取以下步骤的初始值” 命令相比）。我们还可以指定某个研究步，因为一些表达式的值取决于研究。
最后，我们还可以基于现有解计算。内置的误差估计使用的是误差指示器表达式类型，但也可以使用任意的大小表达式，这可能取决于现有解决方案。例如，有时可能想在应力较大的地方细化网格。
另一种选择是基于现有网格进行修改来匹配所需的单元大小。这就是自适应操作的作用。它适用于所有单元类型，也可用于导入的网格。它的许多选项和输入框与大小表达式属性相同。
该操作有三种自适应方法：最长边细化，常规细化和通用修改。前两种细化方法是基于单元边的二等分法进行操作。由于这些单元边太长，所有现有网格的顶点被保留，因此这些网格无法被粗化。COMSOL Multiphysics 软件中使用了通用修改方法。顾名思义，就是以非常通用的方式修改网格：
使用自适应操作的通用修改方法，对大小表达式属性应用同一表达式。对于大多数应用而言，虽然网格单元质量足够高，但是大小过渡不如从头开始生成的网格平滑。如果将自适应方法更改为最长边细化，结果如下图所示。过长的边将被一分为二，直到网格被充分细化。这种网格操作非常快，但是即使输入网格的质量很高，该方法却常常会产生低质量的网格单元。
与上述模型相同，但是将自适应方法设置为最长边细化。在这幅图中，可以看到原始三角形形状产生的图案。自适应操作适用于所有单元类型的网格，也可以用于结构化网格域（虽然网格自适应后通常不再是结构化）。但是，当在四边形单元（二维）、六面体单元（三维）、棱柱单元和金字塔单元等复杂单元中使用此方法时，必须要小心，因为得到的结果可能很差。下面，我们来看看在这种情况下单元大小是如何过渡的。在二维模型中，三角形网格单元被插入四边形网格中。
左图：圆形几何中默认的自由四边形网格。以最大角度质量对单元进行着色。右图：自适应后的网格与上文中的大小表达式的结果相同。请注意在大小过渡区域中三角形单元的使用。在三维结构中，四面体和金字塔常用于大小过渡区域，在合适的情况下也可以插入其他单元类型。下图显示了一个划分粗六面体网格的圆柱，该圆柱使用 0.02+z*z 表达式进行适应。
在以上所有示例中，指定的大小函数表示各向同性单元的大小，即理想形状单元所有边的长度都（大约）相同。如果需要适应的网格是各向异性的（例如，单元沿边界延伸的边界层网格），自适应就会朝着各向同性方向修改网格。边界层单元甚至可能会被完全删除！这并不是我们想要的结果。一种解决方法是禁止粗化操作，这样边界层就会被保留。
适应方法为通用修改，大小表达式为 0.04 + x*x。由于粗化操作，边界层被删除了。
自适应操作同样适用于各向异性适应。各向异性网格单元是指理想单元在某个方向上被拉伸的单元。这种网格在 CFD 计算中很常见，一个典型的例子就是边界层网格。要实现各向异性适应，可以先选择各向异性度量作为表达式类型。然后，需要指定一个 2×2（二维）或 3×3（三维）对称矩阵。此操作意味着：表示单元边的向量在该点被矩阵转换，并测量转换后向量的长度。如果长度小于 1.0，则认为太短；如果长度大于 1.0，则认为太长。此度量标准用于控制适应过程。下图显示了如何使用此方法。
使用各向异性适应方法划分网格。这个示例中，度量标准由常数矩阵
指定。使用自由三角形网格对控制域周围的域进行网格划分。
这篇文章展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 中的网格自适应方法来创建适合特定目标的网格。一种方法是使用网格节点中的大小表达式属性，此操作将控制生成的三角形和四面体网格的大小，通常可以得到平滑且质量较高的网格。另一个方法是使用自适应操作，该操作会修改现有的网格。网格自适应是一种强大的方法，可以修改任何类型的网格，也能生成各向异性网格单元。
了解有关创建网格的更多信息：
本文内容来自 COMSOL 博客，点击底部“阅读原文”，可查看更多延伸文章。如果您有相关问题，或者文中介绍的内容没有涉及您所关注的问题，欢迎留言讨论。
