月黑风高夜，我家的冰糖怎么发光了？| No.57

发光二极管的原理是电子和空穴复合而产生辐射，理论上这一过程在几乎所有二极管中都是存在的，但是否发光取决于两点：一是能量是否能以光的形式辐射出去，实际上，在很多二极管内能量以热能的形式耗散了，因而不能发光；二是辐射光子的频率是否在可见光范围内，这与PN结的材料、掺杂情况有关，目前也有红外或紫外的发光二极管。

牛顿与胡克撕逼了几十年，却在加速度计上合体了……咳咳，言归正传，八卦少谈。加速度计归根结底是基于两个公式：牛顿第二运动定律F=ma和胡克定律F= –kx。简化模型就是五考三模习题册中固定在小车上的一个弹簧和一个光滑物块。当小车以加速度a做匀加速直线运动时，劲度系数为k的弹簧将产生形变x。至于这个x怎么测，就有各种方法了。可以直接测量；可以与电压对应，只需要一个压电传感器；也可以与电阻对应，利用滑动变阻器或压敏电阻；还可以与电容对应，因为平行板电容器的电容值与极板间距有关。而这个弹簧呢，也可以用悬臂、摆轮等替代，只要其回复力公式与胡克定律类似即可。目前利用MEMS（微电子机械系统，或微机电系统）工艺，可以将所有这些部件集成到一起，悬臂+质量块+压阻或电容传感器，整体构成一个小巧而精确的器件。

我们在解决实际问题的时候，光有一个足以描述系统的方程是不够的，往往需要其他一些附加的关于系统的信息，比如初始状态、边界上的情况等等，这些附加条件被称为定解条件，而边界条件就是其中的一种。举个例子，比如求解一根弦的振动，我们除了需要一个关于这个弦的振动方程以外（关于这根弦的各种参数应该已经包含在这个方程里），应该还需要关于这根弦两端的情况，可能是固定的，也可能是自由的，这就是关于这个问题的边界条件。而临界条件通常是指系统由一种状态刚好转化为另一种状态时满足的条件，与边界条件不是同一个概念。

玻尔兹曼大脑是一个很有趣的问题。高度无序的系统越发稳定，越发不可能产生特殊变化，例如产生生命。因此生命几乎不可能出现在高度无序的系统中，而是诞生于宇宙较早时期，此时熵极低，这就可能产生生命（虽然概率极小但却可能发生），并演化成高级生命，比如我们人类。

然而，对于人体来说，单独大脑出现的概率大于人体出现的概率。也就是说，宇宙中很可能出现一种完全由大脑构成的生命，这就是玻尔兹曼大脑。这些大脑很可能存活了下来，并在虚空中进行着超越人类思考极限的思考，甚至构建出我们所熟知的世界体系，细思极恐！实际上，我们自己都并不能确定我们是否是生活在我们大脑所构建的模型当中。

这个问题有点像“缸中之脑”的猜想，只不过没有邪恶的科学家，而是有条件概率为基础。历史上，玻尔兹曼确实是在研究热力学时想到的这一问题，但实际上，我们可以通过概率讨论它，并不需要基于热力学。

首先，透明的含义是什么？从能量的角度讲，这意味着该材料中的电子无法吸收可见光所对应的能量进行跃迁。可见光红紫两侧对应能量分别约为1.6 eV和3.1 eV。由于固体中的原子常常整齐排列形成晶体，其中的电子会处在一系列准连续的能级上，称为能带。导电固体以金属为代表，其之所以呈现金属性，是由于其中电子填充了半满的能带，从而电子只需吸收很小的能量即可跃迁到与之最近的能级上，当然，也可以吸收更多的能量跃迁到更高的能级上，而这些能级对应的能带范围是连续且很宽的，经常在整个可见光范围内都有吸收，因此就不透明了。不导电固体，以水晶为例，其中电子填充了整个能带，而这个能带与其上方的能带之间隔着一定的能量，称为带隙。这意味着电子至少需要吸收接近带隙对应的能量才能发生跃迁。水晶的带隙较大，约为9 eV，远远超过可见光能量，其中电子无法吸收可见光而跃迁，表现为透明的性质。对于半导体，与绝缘体类似，但是带隙相对绝缘体较小，需要具体讨论。例如Si带隙1.1 eV，小于红光能量，在整个可见光段都有吸收，故不透明；而立方SiC带隙2.4 eV，即处在2.4~3.1 eV范围的可见光被吸收，由于绿光能量是2.37 eV，这意味着红橙黄绿青蓝紫的全谱中，青蓝紫被吸收了，红橙黄绿依然透过，材料依然透明，但显示颜色。至于塑料等以分子为主构成的材料，分析方法类似，只是其中未形成能带，而是一系列分立的能级，需要根据具体情况分开讨论。这个问题还可以从另一个不严格但是更直观的角度理解：导电说明电子可随电场自由移动，当然也可以随光的电磁场运动，从而吸收光的能量，表现为不透明；而透明物体呢，对光无明显吸收，说明其中电子不易随光的电磁场运动，那么对于普通的电场也不易自由移动，也就是说不导电了。

质子是可以与电子发生核反应的，最常见的反应方式是轨道电子俘获，这也是放射性同位素的衰变方式之一。一些质子含量高的原子核由于其自身的不稳定性，可以通过弱相互作用吸收一个内层轨道电子，使得其内部的一个质子变成中子并放出一个电子中微子，反应式如下：

一个具体的例子是同位素铝26（比稳定同位素铝27少一个中子），它可以通过轨道电子俘获衰变成镁26：

当然，铝26也可以通过β⁺衰变生成镁12，它们的总半衰期是70万年左右。铝26可被用于陨石年龄的测定，在天文学上非常重要。

至于单独存在的质子与电子发生反应乃至“湮灭”，这是非常困难的事情。根据粒子物理反应中的强子数守恒原则，可以证明质子与电子的反应至少要产生一个重子（由三个夸克或反夸克组成的粒子，如质子、中子、△粒子、Λ粒子等），而质子是最轻的重子，这样如果质子与电子发生反应，生成物总会比它们更重，比如对于（*），中子的静止质量是大于质子与电子静止质量之和的。因此根据质能守恒，必须有极大的额外能量才能使得像（*）这样的反应发生，比如对于轨道电子俘获，这部分能量来自于原子核内一个质子转换为一个中子之后其重子排布结构的改变，即原子核结合能的改变。对于单独存在的质子与电子，为了使反应发生，一种方式是在粒子加速器中让它们高速对撞，另一种方式是极大地增加压强，没错，后者正是中子星的形成方式。

恩，是在减慢的。因此日子终于可以过得慢（xia）一(shuo) 些 (de)了……

地球的自转周期，也就是一天^[1]的长度，每隔十万年增加1.6秒。而地球自转速度变缓的原因可归为外界因素和内部因素两类，其中外界因素起主要作用。外部原因主要来自于长期的潮汐摩擦效应，也即潮汐锁定。内部原因主要来自于无规的地核运动和季节性的大气运动。

所谓“潮汐锁定”，简单说就是海洋占据地球表面高达71%的面积，月球和太阳通过引发地球上海洋的潮汐，把地球拖慢了。原因是地球表面的潮汐是两边较鼓的椭球，其旋转的速度要慢于地壳的旋转速度，因此地壳与海洋之间的剧烈摩擦导致地球自转速度变慢。其次潮汐的旋转角速度又要快于月球的绕转角速度，因此海洋的部分角动量又通过潮汐力产生的力矩传递给了月球。当然地球上不规则分布的物质，由于地球自转角速度更大，都会通过月球潮汐力产生的平均力矩传递角动量给月球。且由于能量守恒，地球自转速度减慢的同时，月球公转周期变长，慢慢远离地球。最终这个潮汐摩擦和力矩的作用是使得作用双方趋于相互锁定，也即公转周期与自转周期相同，这也意味着一天与一个月的时间相同。我们常见的月球实际上一直以来都是以同一个面朝向我们的。这是因为月球的质量要比地球质量小得多，月球的潮汐锁定已经提前完成。

以上同样的过程也发生在太阳和地球之间，现在我们一年的时间远大于一天的时间，当有一天地球相对于太阳的潮汐锁定完成，那将出现一天与一年的时间相等的情形。那时候就真的是“度日如年”。当然，前提是给予地月系统与日地系统足够长的演化时间，才能让地球和月亮，太阳和地球分别达到潮汐锁定。这也从侧面反应了我们地球作为太阳的行星，仍然处于相当年轻的阶段。

图1.潮汐摩擦示意图（来源：百度百科）

导致地球自转变慢的两个内部原因——无规的地核运动和季节性的大气运动则可以这样理解：1.角动量不变时角速度大小可以变化；2.角速度的方向与角动量的方向可以是不一样的。比如1.花样滑冰运动员在做原地旋转动作时，其手臂向内收的同时，她自转的速度将会变快。2.只要角速度的方向不平行于旋转物体的主轴，角速度方向就会一直变化。考虑一个极端情形，你向上抛一根长细棒，让细棒沿着长轴方向高速旋转（足够细的情形下，其贡献的角动量忽略不计），然后再使细棒沿着垂直长轴的方向旋转上抛，此时角速度在空中必然是会发生变化的，而角动量是不变的。综上所述，可以理解地球内部运动导致的自转速度变化。

最后，还可以（滑稽地）提出一个造成地球自转速度变慢的内部因素，这也是我们地球人都能参与的活动，那就是把靠左行驶的汽车全部改为靠右行驶，这样一来，一天的时间就会增加^[2]了。当然，这个所谓的一天时间变长是相对于汽车都停在原地不动的情形，其变化也十分微弱。

图2.绿色标记靠右行驶的国家，黄色标记靠左行驶的国家。（来源：List of left- & right-driving countries）

注释：

[1]此处一天的长度特指恒星时。

[2]定义角动量方向沿着地球自转方向——自西向东——为正。将交通规则中车辆靠左行驶改为靠右行驶，会使得交通工具相对于转轴的角动量增加。这是因为所有向东的运动将比之前远离地球的自转轴，因而其将获得更多的正向角动量。相反，向西方向的运动则减少了它的负向角动量。假定东西方向（其他方向都有这两个方向之一的分量投影）的交通流量相同，整个地球系统的转动惯量不变。又因为地球系统总角动量守恒，因此地球的角动量将减少，其自转速度减小。（来源：《200道物理学难题》第97题）