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写完十四章卡农后，莫比乌斯带属实是给巴赫玩明白了

中国物理学会期刊网 · 公众号 · 物理 · 2022-03-10 10:00

正文

乐谱是由两个维度组成的：音高和时间。例如，在一个单声部音乐文本中，音符的音高（对应着频率）是竖直表示的，而演奏时间则是从左到右的。

在14-15世纪的诵经书——《垂怜经(Kyrie)》的其中一行中，演奏是从左到右的，而高度对应着音高。从那之后，记谱的细节发生了很多变化，但基本原理没有变。图片授权于密苏里堪萨斯大学堪萨斯市图书馆，肯尼思·J·拉布德特别收藏部。

从拓扑学上来说，单声部乐谱是一个二维条纹图。水平坐标代表从开始到结束的时间，垂直坐标代表从低到高的音高。在上面的诵经书，开头的谱号在乐谱中的第二条线，对应着音阶上的“fa”。

单声部乐谱呈长方形。图片来源于作者。

当考虑乐谱的 对称性 时，拓扑结构会变得更有意思。假设不断重复乐谱，就像一些歌曲的前奏一样反复播放同样的一段音符序列，将其结尾和开头连接起来，在拓扑结构上来说，乐谱变成了一个柱面。

一段基本的拓扑圆柱曲调。图源于作者。

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卡农

卡农是一种非常有意思的 谱曲技巧 ，一个二部的卡农乐指的是第二声部延迟模仿第一声部的乐谱。最著名的例子莫过于法国的一首轮唱歌曲Frère Jacques，普通话版本的叫《两只老虎》。这首曲子有8个小节。从第三小节开始，第二个声部开始重复第一个声部的内容，两个声部融合在一起形成和声，一直持续到9到10小节。等到第二个声音结束时，第一个声音重新开始，从第3小节到10小节的序列又形成了一个又一个顺滑重复的稳定过程。

《两只老虎》。由于一声部在二声部结束的时候重新开始，因此没有自然结束点。蓝色框内的序列可以重复多次。图源于作者。

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巴洛克作曲家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Johann Sebastian Bach ，1685-1750年）非常擅长谱写卡农。在他留下的最好的一张肖像中可以看到他拿着一张卡农乐谱。

在1746 年埃利亚斯·戈特洛布·豪斯曼（Elias Gottlob Haussmann）绘制的肖像中，巴赫拿着一张卡农曲谱，是《哥德堡变奏曲（the Goldberg Variations）》（BWV 1087）中十四章卡农里的卡农 13。

这组曲谱背后还有个故事。一开始只发现了其中的两个乐谱，分别在写在画上和巴赫给朋友的亲笔签名的本上，直到1974年剩下的曲谱才被发现在巴赫的《哥德堡变奏曲》的曲谱的背面，现在收藏于巴黎国家图书馆。我们来分析该系列中的两个，卡农 3和卡农 5。

卡农 3

卡农 3、 4和 5都涉及到一个声部和它的“倒影”，比如说原声部向高音移动时，其倒影会向低音移动，反之亦然。在卡农3中，主声部演奏《哥德堡变奏曲》的前八个音符，而从第三个小节开始的和声则是以主声部颠倒的演奏旋律进行的。

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上：《哥德堡变奏曲》的前八个音符。中：同样的音符以B和中央C之间的对称轴颠倒过来。下：两部分合在一起，一声部在二声部演奏一半的时候重新开始，这个曲谱会稳定重复下去。

拓扑学上，《两只老虎》跟卡农具有相同的结构：在曲谱的前奏之后，卡农就会进入稳定的圆柱（循环）状态。巴赫的所有卡农都是这样构造的。

巴赫卡农的一般性拓扑结构。图源于作者。

卡农 5

卡农 5被巴赫描述为“双工”（duplex, a 4）。它是用四个声部同时演奏两个卡农旋律。其中两个声部演奏卡农 3的旋律，与其叠加的另一个卡农除了滞后外还在声调上降了八度，但结构是一样：后声部在两小节之后开始逆向模仿前面的声部。

《哥德堡变奏曲》的卡农 5，后声部在前声部进行到一半的时候开始。蓝色框里面的代表的是稳定循环。图源于作者。

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来看下图中稳定状态下的前两个声部，将乐谱和其倒影（向下翻转）比较。乐谱的最后两节可以看做是前两节的向下翻转之后的结果（见橙色框），反之亦然。乐谱具有 滑移反射对称性 ：把乐谱平移然后翻转，乐谱是一样的。如果继续移动，再次翻转，乐谱就会回到最初的样子。

卡农 5具有滑移反射对称性。图源于作者。

任何具有滑移反射对称性的周期性文字都能在 莫比乌斯带 （Möbius strip）上编码。用一张条形的纸条，翻转扭曲之后将两端黏在一起，就是莫比乌斯带。

周期性 可以使其在柱面上编码，滑移反射对称性意味着如果我们将柱面扭曲并两层重叠，则这两组音符将完全匹配。

将音符记在莫比乌斯带上，我们认为能从任意一面读取。

编码在莫比乌斯带上的具有滑移反射对称性的周期性文字。图源于作者。

由于卡农 5的乐谱具有滑移反射对称性，因此可以这样操作乐谱：

将卡农5的两个上声部印在柱面上。图源于作者。

柱面自身重叠两次，并扭曲形成莫比乌斯带，可以发现两个声部除了尾部，其他部分是完全重叠的。图源于作者。

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值得一提的是，逆向演奏的卡农乐谱不一定具有滑移反射对称性。如果重复一段滑移反射对称的演奏，则演奏会回到原始状态。而在逆向运动的卡农中，只有在当第二声部正好始于 中间点 时，才可能出现滑移反射对称性。

这种周期性的“2声部”有原声以及逆向的运动，但是没有滑移反射对称性。图源于作者。

卡农 3和卡农 5乐谱的稳定循环能从莫比乌斯环中读取，而巴赫的其他乐谱，比如说卡农 9、《哥德堡变奏曲》的变奏 12和 15都没有这个属性。

下面有一个名为“莫比乌斯环上的逆行卡农（Crab Canon）的视频，展示了卡农乐谱是如何在莫比乌斯带上读取的。在逆行卡农中，第二声部的演奏是第一声部从结尾到开头的“倒带”。这首乐谱的构思令人称奇，但确实跟莫比乌斯环毫无关系。来欣赏一下这首神奇的乐谱吧~

错觉：音高与调性

巴赫也在开发人类对声音感知的另一个方面：除了音高，我们对调性（tonality）也很敏感。一般的，中央C与更高和更低的C对人们的感知来说听起来是一样的。因此（听起来），不同的调性并非线性连续的，而是形成了一个循环，这样就会产生谢泼德音调（Shepard tone）的现象，感觉音乐的音高像是在不断地上升。这个可以用用钢琴来模仿：