要是将每个矩阵和概率都看成对应的「图」会怎么样？本文作者带我们体验了这个简单而有趣的可视化过程。
选自math3ma，作者：Algebra，机器之心编译，参与：高璇、张倩。
今天我想分享一个简单的 idea，它既不新颖也不花哨。甚至很多人都有过这个想法。但是无论你有没有这么想过，我都希望你能抽出几分钟和我一起重新感受这个想法。
这个想法是这样的：
想法非常简单，但非常实用。
首先严谨地概括这个想法：每个矩阵对应一个加权二分图。所谓「图」是指顶点（点）和线的集合；「二分」是指点有两种不同的类型/颜色;；「加权」是指每条线都有一个数字标记。
上图对应一个 3×23×2 矩阵 M。右侧我画了三个绿点，分别对应矩阵 M 的三行，两个粉点分别对应矩阵 M 的两列。如果对应矩阵 M 中的值非零，就在绿点和粉点间画一条线连接。
更明确的描述如下：
任何矩阵 M 都是 n×m 个数的数组。当然这是常识。但是这样的数组也可以看作函数 M：X×Y→R，其中 X = {x_1，...，x_n}，是一组 n 个元素组成的集合；Y = {y_1，...，y_m}，是一组 m 个元素组成的集合。实际上，如果要描述矩阵 M，那么需要描述第 ij 项的值。换句话说，对于每对 (i,j)，都需要给出一个实数 M_ij。这就是函数的功能啊！函数 M：X×Y→R 关联每对 (x_i,y_j)（如果你愿意，可以去掉字母并将其看作 (i,j)），即实数 M(x_i,y_j)。所以可以将 M(x_i,y_j) 简写为 M_ij。
看，矩阵就是一种函数。
如前所述，我们进一步认为 X 的元素是绿点，而 Y 的元素是粉点。然后矩阵 M 以下图方式与加权二分图相对应：图的顶点有由 X 和 Y 提供的两种不同颜色，并且每个 x_i 和 y_j 之间存在连线，连线由数字 M_ij 标记。但是如果数值为零，那就省略这条边。
每个矩阵对应一个图。
当我们以这种方式可视化矩阵时，神奇的事就发生了。例如...
矩阵乘法即为沿连线向前运算。
给定两个矩阵（图）M：X×Y→R 和 N：Y×Z→R，我们可以通过将它们的图拼在一起并沿着连线进行乘法运算：MN 的第 ij 项的输入，即连接 x_i 到 z_j 的线的值，是通过将沿 x_i 到 z_j 的各个边相乘并加和得到的。例如：
对称矩阵对应对称图。
如果一个矩阵等于它的转置，即为对称矩阵。这种对称性常通过矩阵对角线映射得到。但现在可以从图中观察到对称性。尤其对于任何矩阵 M 来说，下图直观地解释了，为什么 MM^⊤和 M^⊤M 始终对称！
若矩阵所有项都非零，则对应完全二分图。
如果一个矩阵的所有元素都不为零，那么它对应的图就没有缺失的连线。这意味着 X 中的每个点都与 Y 的每个点相连。这样的二分图称为完全二分图。
N 分块矩阵对应独立的 N 个图。
具体来说，由直和得到的分块矩阵对应断开的图。将两个矩阵做直和运算得到更大的数组（与向量直和运算类似），即一个带有全零块的大型分块矩阵。分块矩阵的图通过将原矩阵的图叠加得到。
关于矩阵和图我们能展开更多的讨论，但我想通过一个不同的角度来探讨。事实证明，概率非常适合我们矩阵-图的讨论。这是通过另一个有趣的小事实来实现的：
例如：
这样的概率分布图可以让我们更好地分析。
联合概率
通过架构图中的连线，可以得到联合概率：(x_i,y_j) 的概率是连接 x,y 两点的线的标签。
边缘概率
边缘概率 是通过沿矩阵的行/列求和得到的（与上图等效）。例如，x_1 的概率 p(x_1)=p(x_1,y_1)+p(x_1,y_2)=1/8+0，这是第一行的总和。同样，y_2 的概率是 p(y_2)=p(x_1,y_2)+p(x_2,y_2)+p(x_3,y_2)=0+1/8+1/4，是第二列的和。
图中，x_i 的边缘概率是以 x_i 为顶点的所有连线的和。类似地，y_j 的边缘概率是以 y_j 为顶点的所有连线的和。
条件概率
条件概率 是由联合概率除以边缘概率得到的。例如在 y_2 条件下 x_3 的概率 p(x_3|y_2)=p(x_3,y_2)/p(y_2)。从图中可以看出，这是通过将 x_3 和 y_2 的连线除以所有与 y_2 相连的线之和得到的。同样，y_i 下 x_j 的条件概率是两点连线的值除以所有与 x_j 相连的线之和。
这很简单，对吧？
这里边的原理并不复杂，只是有时用新角度看旧想法是很有用的。
关系矩阵
本文的最后是另一个简单而有趣的事实，即：矩阵运算在交换环（communicative ring）上是有意义的。不仅仅是像 R 或 C 等。矩阵相乘甚至不需要负数：矩阵运算在交换半环上是有意义的！（半环是一个没有相反数的环。）
我认为这很好，因为包含两个元素 Z_2 = {0,1} 的集合通过下图的加法和乘法形成一个半环：
