Maxell方程与纤维丛

活动标架法

这里偏导数 , 都是 中的向量。我们取曲面的 单位正交标架场 ，

这里 是曲面的法向量场，

这样我们可以将 和 在活动标架 中表示,

这里微分形式

同样的

这里微分形式 满足一个非常关键的关系：

是曲面的Gauss曲率，即联络的外微分等于 曲率形式 。同时微分形式 也定义了 联络， 而联络定义了 协变微分 算子 ，从而定义了 平行移动 。

假设 是曲面上的一条曲线，其弧长参数为 ， 是沿着 的切向量场，我们说 沿着 平行，如果

假设 ，那么

进一步展开得到

我们得到关于 的常微分方程：

给定初始条件，解存在并且唯一，即我们定义了切矢量沿着 的平行移动。 我们可以证明平行移动保度量，即任给沿着 的切矢量场 和 ，

假设 是曲面上的单连通区域,其边界为 。一个切向量沿着边界平行移动，跑了一圈回到原点之后此切向量会旋转一个角度，这个转角等于

即围绕 边界平行移动一圈之后得到的转角（即 和乐 holonomy）等于 的总Gauss曲率。

纤维丛局部看具有直积结构，整体具有内在的扭曲。我们希望在纤维丛中找到一张曲面，它和每根纤维只相交于一点，即一个整体的截面。但是由于内在的扭曲，这种截面未见得存在，这种截面整体存在性的障碍就是示性类。

我们考虑曲面所有的单位切向量构成的流形, 曲面的单位切丛 。

固定点 ， 所有的单位切向量 构成一个圆圈 ，被称为是 点的 纤维 。开集 上所有的单位切向量构成了一个直积 。但是整个曲面的单位切丛未见得是整体直积结构。我们分析一下球面的单位切丛。

图 1. 半球面的单位切丛具有直积结构。

如图1所示，我们将球面沿着赤道分成上半球面和下半球面，每个半球面的单位切丛都具有直积结构，可以视为实心轮胎，每一点的纤维对应环绕实心轮胎的纬线。我们一刀砍向实心轮胎，砍断所有纤维，得到一个截面，这个截面对应着半球面上的一个光滑单位切矢量场。

图2. 球面的单位切丛。

通过粘贴两个半球面的单位切丛，我们可以得到球面的单位切丛。 如图2所示，半球面单位切丛的边界是空心轮胎面 ，粘贴映射记为 。 仔细考察，我们看到粘贴映射将纤维映成纤维，即纬线 （红色）映成纬线（红线）,但是经线 (蓝色)映成复杂的圈 ,

在图2中，如果我们改变粘贴映射，只要满足特定条件，会得到不同的纤维丛。不同纤维丛的内在“ 扭曲 ”也不同，可以用示性类来区分。一般情形下，求取示性类的直观方法是逐步构造全局截面，中途遇到的障碍直接给出了示性类。比如给定一张曲面上的圆丛，我们先计算曲面的三角剖分。然后在每个顶点的纤维上任取一点，得到顶点处的截面； 圆丛 限制在每条边上是一个圆柱面，其边界上确定了两点，我们在柱面上选取一条路径连接边界上的两点，这条路径是限制在边上的截面； 圆丛 限制在 每个三角形面上是一个实心轮胎，其边界是空心轮胎曲面，曲面上已经确定了一条封闭曲线作为截面，如果这条封闭曲线在实心轮胎的一维同调群中为零，则 实心轮胎 内部存在一张曲面以此曲线为边界，这张曲面就是此三角形面对应的截面；反之，如果 这条封闭 曲线 在实心轮胎的一维 同调群 中非 零而是一个整数，则实心轮胎中不存在任何曲面以此曲线为边界，我们遇到了拓扑障碍。由此，我们为每个三角形面赋予一个整数，即得到一个2-形式，将其视为曲面2维上同调群中的一个类，这就是纤维丛的示性类。

我们也可以用几何上的曲率形式来定义示性类。 我们在每根纤维上定义一个内积，从而得到整体光滑的黎曼度量，与活动标 架法类似得到唯一的Levi-civita联络，其外微分为曲率形式， 曲率形式 即为纤维丛的示性类。这种方法将拓扑问题用几何来解决。

图3. Aharonov-Bohm 效应（Internet）。

如图3所示，一束电子通过双缝，在背后的屏幕上形成干涉条纹。我们在双缝后面放置一个无限长的螺线管，管内磁场强度为 ，外部磁场、电场强度为零。螺线管通电之后，干涉条纹在屏幕上发生了移动。根据物理的局域原则，电子行为的改变一定是它和某种场相接触，但是电子的路径上电场强度和磁场强度均为零，电子不受洛伦兹力的作用。历经数十年的争论，人们终于认识到干涉条纹的移动是由磁矢量势所引起。 通 电 的螺线管改变了时空的整体性质，改变了曲率的分布，从而改变了电子的相位，干涉条纹移动。