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Black-Schole公式中N(d1)到底有什么意义

风控斋 · 知乎专栏 · · 2017-07-17 00:37

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这个标题似乎太老套了。知乎上不止一次有人问到这个问题。我的量化风控群里前两天也有朋友进行了热烈的讨论。一些英文网站上也有不少关于这方面的论述。但是直到目前为止我似乎尚未看到一个真正能够揭开N(d1)本质的答案。大多数的讨论主要是论述其意义为欧式看涨期权对标的资产的一阶灵敏度(Delta), 但是没有办法赋予其与其孪生项 $N(d_{2})$ 一样的概率意义。本文意在根据测度变换(change of measure/change of numeraire)对其赋予一个明确的概率解释。

我们知道，BS模型中的定价是在风险中性测度(risk neutral measure)下进行的。何为风险中性测度？其实选定了一个特定的概率测度，即选定了一个特定的风险标的资产作为度量尺度“，称为numeraire. 风险中性测度对应的numeraire是money market account, 即

$B(t)=e^{rt}$

根据定价理论，任何可交易资产以该numeraire为单位进行衡量，在对应的测度下均为martingale, 即无飘逸项的随机过程，写成公式就是：

$\frac{X(0)}{B(0)}=E^{B}\left[ \frac{X(t)}{B(t)}\right]$

这个结论换成其他任何numeraire N(t)也成立，当然相应的测度需转换到该numeraire N(t)对应的概率测度。

$\frac{X(0)}{N(0)}=E^{N}\left[ \frac{X(t)}{N(t)}\right]$

那么什么样的随机过程可以作为numeraire呢？答案是任何可交易且总是取正值的交易资产均可。不同的numeraire对应不同的概率测度，并且任意两个概率测度之间通过Girsanov定理联系。

暂时回到BS公式。在以 $B(t)$ 为numeraire的风险中性测度下，我们可以对任意衍生资产V(t)进行定价。假设其在期末T时的payoff ,为 $V(T)$ , 则其在0时刻的价值为

$V(0) = E^{B} \left[\frac{V(T)}{B(T)}\right]$

对于欧式看涨期权， $V(T)=(S(T)-K)^{+}$ , 因此r $V(0)=E^{B}\left[\frac{(S(T)-K)^{+}}{B(T)}\right]=E^{B}\left[\frac{(S(T)-K)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]\\=E^{B}\left[\frac{S(T)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]-Ke^{-rT}E^{B}\left[1_{{S(T)>K}}\right]\\=E^{B}\left[\frac{S(T)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]-Ke^{-rT}P^{B}\left[{{S(T)>K}}\right]$

上式第二项中的 $P^{B}\left[{{S(T)>K}}\right]$ 即大家熟悉的N(d2), 也就是在风险中性测度下行权时股票价格大于敲定价格的概率。在此不做讨论。我们现在关注第一项，即 $E^{B}\left[\frac{S(T)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]$

如果我们此时引入一个新的概率测度，其对应的numeraire为标的资产价格S(t)，不妨称其为’ 标的测度 ‘。在标的测度下，我们可以定义新的布朗运动。具体的，以标的资产为单位度量的money money account $\frac{B(t)}{S(t)}$ 是一个martingale. 因此根据伊藤引理可以导出(限于篇幅略去详细证明，读者可自证之）

$d \frac{B(t)}{S(t)} = -\sigma \frac{B(t)}{S(t)} (d W^{B}_{t} - \sigma dt)$

其出发点为

$d B(t) = r B(t) dt \\ \frac{d S(t)}{S(t)} = r dt + \sigma dW^{B}(t)$

其中 $W^{B}(t)$ 为风险中性测度下的布朗运动。

因此我们可以在标的测度下定义一个新的布朗运动： $W^{S}(t) = W^{B}(t) - \sigma t$

注意到对于任意的随机过程 $f(t)$ ，其在两种测度下的期望值变换满足

$E^{B}(f(t)) = E^{S}\left[f(t) \frac{S(0)B(t)}{S(t)}\right]$

这样，回到原来的BS定价公式推导过程中的第一项 $E^{B}\left[\frac{S(T)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]$ , 并将其变换到标的测度下，可以得到

$E^{B}\left[\frac{S(T)}{B(T)}1_{{S(T)>K}}\right]=E^{S}\left[\frac{S(0)B(T)S(T)}{B(T)S(T)}1_{{S(T)>K}}\right]\\=S(0)E^{S}\left[1_{{S(T)>K}}\right]=S(0)P^{S}\left[(S(T)>K)\right]$

激动人心的一刻来临了-我们终于看到测度变换的强大魔力了！变换到新的标的测度以后，所有的与标的价格相关的交叉项都被约去，我们看到的是一个清晰明确的概率表达式-第一项即s初始标的价格与在标的测度下期末标的价格大于敲定价格的概率！这与第二项中的N(d2)完全一致，仅仅是测度发生了变化。

注意到在风险中性测度下

$S(T) = S(0) e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})T + \sigma W^{B}(T)}$

利用我们刚才定义的在标的测度下的布朗运动表达式 $W^{S}(t) = W^{B}(t) - \sigma t$ ，我们可以得到

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