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撰文 | 马克斯·斯普林格（Max Springer）
用瓷砖铺满二维的卫生间地板是非常直观的房屋装修问题，但在高维空间中，类似的铺瓷砖问题——我们称之为密铺问题（Tiling）——却可能变得十分复杂，甚至会出现某种图案无法重复的奇特情况。
最近在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上发表的成果推翻了一个存在已久的密铺猜想，表明在数学这样高度结构化的领域中，某些“无序的现象”必然会产生。
粗略来看，“密铺”指的是用几种图案（也叫瓷砖）无重叠、无缝隙地铺满整个平面（或者其他任意维度的空间）。数学家的二维平面就如同一个可以无限延展的浴室地板，他们的三维空间就如同可以向任意方向无限装载货物的卡车车厢，而密铺用到的图案就像不同形状的物理瓷砖和集装箱，它们之间的组装需要保证毫无缝隙。
如果可以用几种瓷砖的一些拷贝拼出一个图案单元，然后用这个图案单元沿着坐标轴周期性地平移，并能密铺整个空间，我们就可以将这种密铺描述为“周期性的”。
而这次被推翻的“周期性密铺猜想”认为：如果单一一种瓷砖既不用旋转，也不用镜像翻转，就能密铺整个空间，那么这种瓷砖一定能形成某种周期性的密铺，即该密铺瓷砖一定是周期性密铺瓷砖。
最近这项工作证伪了周期性密铺猜想。作者构造了一个“严格非周期”的瓷砖——它能密铺整个空间，但这种密铺一定不是周期的。他们的做法是把密铺这种几何问题转化为由一堆方程定义的代数问题。其中每条方程都规定了瓷砖密铺应该遵循的一些规则，或者说约束条件——比如，不能旋转以及两块瓷砖之间没有空隙等。美国西北大学的数学家雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld，这项研究的共同作者）表示，这就构成了某种“密铺的语言”。
如果我们在这个语言中一个一个地加入条件，那么能允许出现的密铺数量就会逐渐缩小，就像随着填入格子的初始数字逐渐增多，数独的可能解法也在逐渐减少一样。我们要的那个“终极解”，就是一个不重复的数字序列，它可以被反向翻译为几何语言下的密铺，变成一块非周期性瓷砖，由此推翻了周期性密铺猜想。
“密铺是一种不太简单的数学对象，它们总会有特别的行为。不过还好，它们也不至于复杂到完全无法预测，”格林菲尔德说。
加拿大滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）说，研究人员“几乎把一块瓷砖的形状变成了一门编程语言”。
由于推翻猜想的结果源于不断添加约束条件，而这些条件都转化为数学上额外的维度，最终得到的反例存在于一个“维数高到离谱”的空间中——大概是10100000维。
“高维密铺非常复杂，”美国加利福尼亚大学洛杉矶分校的华人菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao，这项研究的共同作者）说：“低维下看起来情况正常得多，三维密铺也是现在研究的前沿。”在这个符合我们物理直觉的空间和新的高维密铺空间之间，“我们似乎处在有序和混沌的边界上。”
本文选自《环球科学》2024年10月刊“前沿”
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