每日打卡做题 [404] 约数之积

每天坚持打卡做题

享受思考的乐趣

▲长按识别二维码或点击开始答题▼

点击开始答题

【昨天打卡问题】神马数

同时满足下列3个条件的十位数称为“神马数”：

（1）前5位每一位上的数字都大于5；

（2）后5位每一位上的数字都小于5；

（3）是64的倍数。

那么不同的“神马数”共有多少个？

【解答一】@try

我的答案是：63488

我的思考过程如下：这题的突破口在于64的倍数。

1) 首先10^6可以整除64，那么前4位的数字可以为6，7，8，9中的任何一个，它们不会影响64的整除特性，则该步总数为4^4=256种。

2) 接下来开始统计大于0且小于10^6之间的数量，由于4*(10^4)可以整除64，我们可以据此分段计算，并按照首位大于5，后5位小于5的性质。

a) 首先固定前两位60，即形式为60abcd，一共有11种可能性，分别为600000，600320，601024，601344，602112，602240，602304，602432，603200，604032，604224， 然后前两位和60等价的有6种情况，即60，64，72，80，84，92，所以总数为11*6=66种。

b) 再次统计61abcd，一共有12种可能性，分别为610112，610240，610304，610432，611200，612032，612224，613120，613312，613440，614144，614400， 然后前两位和61等价的有4种情况，即61，73，81，93，所以总数为12*4=48种。

c) 然后统计62abcd，一共有13种可能性，分别为620032，620224，621120，621312，621440，622144，622400，623040，623104，623232，623424，624000，624320， 然后前两位和62等价的有6种情况，即62，70，74，82，90，94，所以总数为13*6=78种。

d) 最后统计63abcd，一共有14种可能性，分别为 630144，630400，631040，631104，631232，631424，632000，632320，633024，633344，634112，634240，634304，634432， 然后前两位与63等价的有4种情况，即63，71，83，91，所以总数为14*4=56种。 综上所述，该步总数为66+48+78+56=248种。

3) 最后通过乘法原理，得到“神马数”一共有256*248=63488个，完毕。

【解答二】@刘斌

我的答案是：63488

我的思考过程如下： 10^6=64×5^6是64的倍数。 所以十位数的前四位完全无所谓。大于5共有4^4可能的组合。 第五位若是6,8，后五位能整除64即可。假设有m个。 第五位若是7,9，后五位须mod64为32。假设有n个。 最后等于，4^4*2*(m+n)。 再进一步，m＋n即为由01234(首位可以为0)组成的五位数中32的倍数的个数。 5位均以01234构成，00000到44444中，32的倍数共124个。 以上结果我也没想出好办法，我是分类讨论的。 比如千位以上是4k的有00,04,12,20,24,32,40,44 共8个组合。 要求后三位是32倍数，有000,032,224,320共4个组合，所以这就是32个。 这样各种组合一共124个。 所以最后我的答案是， 124*2*4^4=63488。

【解答三】@LynJ

我的答案是：63488

我的思考过程如下： 令满足上述3个条件的三位数为ABCDEabcde；

【1】有ABCD*1000000=ABCD*(5^6)*(2^6)必为64的倍数，故ABCD的取数有4^4=256种； 【2】Eabcde中，

(1)e必为2的倍数有3种取法；

(2)de必为4的倍数在e取(1)数的基础上有8种取法；

(3)cde必为8的倍数在de取(2)数的基础上有20种取法；

(4)bcde必为16的倍数在cde取(3)数的基础上有50种取法；

(5)abcde必为32的倍数在bcde取(4)数的基础上有124种取法；

(6)E在abcde取(5)数的基础上每个数有7,9或6,8两种取法；

所以Eabcde共有2*124=248种取法；

综上所述，神马数共有256*248=63488。

* 答案仅供参考，如有疑问请留言！

- END -