合作与单干：缩小素数间距

2013年5月13日，一个默默无闻的、才华不被认可以致靠在快餐店打工维持生活的数学家，因为解决了一个关于素数的长期悬而未决的问题，获得了全世界的关注和数学界的赞誉。所谓素数就是只能被1和自己整除的那些大于1的整数。美国新罕布什尔大学的张益唐讲师证明虽然素数越来越稀疏，你仍可不断找到间隔至多为7千万的素数对。张益唐的工作是人类历史上首次证明有无穷多个素数对间隔不超过一个有限的上界。著名的孪生素数猜想断言有无穷多个素数对的间隔恰好为2（例如：11和13），张益唐的工作是这个世纪难题上的重大突破。

张益唐

在随后的几个月里，张益唐发现自己陷入旋风般的学术活动与欢呼庆祝中：他已在许多著名学府讲解他的这项工作，收到了来自中国大陆和台湾的顶级机构的工作邀请， 获得普林斯顿高等研究院的访问位置，并被通知将晋升为新罕布什尔大学正教授。

张的工作引发出这样一个问题： 为什么是7千万？ 这个数并没有什么特别的神奇之处——它只是张为了简化证明达到目的而采用的。其他数学家很快就意识到，这个间隔上界可以被降低不少，虽然难以一下子降到2。

到5月底，数学家们通过微调张的论证把素数间隔的界降至60万。澳大利亚国立大学的莫里森（Scott Morrison）5月30日的博客文章引发了改进热潮； 数学家争相改进这个数字，创造了一个又一个新记录。6月4日，菲尔兹奖(数学界最高荣誉)得主、美国加州大学洛杉矶分校的陶哲轩创建了在线协作的开放项目Polymath 8，吸引了数十名参与者。

曾有数周，该项目不断取得进展。陶回忆说：“常常每过30分钟这个界就下降一点。”到了2013年7月27日，该团队已成功地将素数间隔从7千万降至4680。

现在，蒙特利尔大学的博士后詹姆斯·梅纳德（James Maynard）于11月19日在arXiv上公开了一个预印本。在张宣布他的结果仅仅几个月后，梅纳德给出了一个独立的新证明并将素数间隔降到600。一个新的Polymath项目正处于规划阶段，目的要将先前Polymath 8项目的群体工作与梅纳德的证明结合起来进一步降低素数间隔的上界。

陶说：“ 这个新的进展让该领域内的人颇感兴奋。 ”

梅纳德的方法不仅适用于一对素数，还可以用于处理三元、四元和更多元的素数组。他证明了，对任意给定的正整数，总可找到无穷多个长度不超过一个依赖于的常数的区间， 使其中含有至少个素数。（陶说，几乎同时他也独立得出这个结果。）

张这种孤独的数学天才(梅纳德也可算一个)，在准备好用一个伟大的发现让世人吃惊之前，一直躲在无人知晓的角落默默奋战多年。而Polymath 8项目则大不一样，追求新的世界记录要求快速、迅猛与群体协作。

张独自痴迷于研究单一的难题，这给他带来了巨大的回报。他是否向其他数学家推荐这种做法呢？张回答说：“这很难说。我选择自己的方式，但它只是我自己的方式。”

陶并不鼓励年轻数学家沿着这样的途径，他认为这是“一种特别危险的职业冒失行为”，如此很少能够成功，除非你是一个学术前途无忧又有良好记录的老道数学家。不过，他在接受采访时说，单干和协作方式都对数学做出了贡献。

陶说：“重要的是要有人愿意孤军奋战来贡献自己的才智。” 与此相对照，Polymath 8靠的是“完全的群体思维”。并非每个数学问题都能借助于这种合作方式，但是这个问题可以。

张在证明中使用被称为元组的数学工具来挑选素数。所谓元组，你可以把它想像成一个部分齿被折断的梳子。如果你从数轴上随意一处开始沿着数轴平放梳子，剩余的齿就会指向一组数字。

张关注的有残缺梳子的余齿具有被称为“容许性”的整除性质。他证明了，如果利用至少有350万个余齿的容许梳子去挑选素数，那么数轴上有无穷多个位置使从那儿沿数轴平放梳子后这个梳子的齿会指向至少两个素数。然后，张通过折断有7千万个齿的梳子的部分齿来制造至少有350万个余齿的容许梳子， 如此改造过的梳子必能不断地捕获到间隔不超过7千万的素数对。

粗略地讲，一个梳子被称为容许的，除非有明显的理由使得沿数轴移动梳子后它的齿不能无穷多次地全部捕获到素数。例如，将有5个齿的梳子的第2个与第4个齿折断，如此得到的梳子不是容许的。这个梳子将对应诸如(2，4，6)，(5，7，9)，(11，13，15)这样的三元组，无论你把梳子放在哪里，它所对应的3个数中必有一个被3整除。 除了(3，5，7)这组外，你再也看不到全为素数的这样的三元组。

但是将有3个齿的梳子的中间齿折断后就没有这样的障碍，因而是容许的。这种梳子对应着诸如(2，4)，(3，5)，(11，13)这样的有序对，并且没有整除障碍导致它不能经常性地全取素数。事实上，孪生素数猜想就断言这种特殊的梳子可以无穷多次捕获到素数对。

一个更大胆的元素数组猜想——孪生素数猜想的推广——断言任何容许梳子都可无穷多次地让全部齿对应着素数。换句话说，每个关于素数的合理模式将一而再、再而三地不断涌现。大量的计算证据支持元素数组猜想的正确性，但没有人知道如何来证明它。

梅纳德和陶的最新工作给k元素数组猜想提供了强有力的证据。蒙特利尔大学的格兰威尔（Andrew Granville）说：“会不会在不久的将来有人能够证明元素数组猜想？对此我持怀疑态度。但我已经错过好几次了。”他接着说道，梅纳德和陶的这项发现是“梦幻般的突破”，“这是一个具有历史意义的成果。”

张的论证由3个独立的步骤构成，每个步骤都留有潜在的空间去改进他的7千万上界。首先，张引用了一些非常深刻的数学结论去识别出隐藏的素数对。接下来，他用此结果去考察有多少个余齿的容许梳子可无穷多次地捕获到素数对。最后，他计算出多大的梳子经折断后可制造出一个容许梳子。

事实上，对于群体合作改进张的结果，理想的做法把这3个步骤分开进行。陶说：“他的证明是非常模块化的，所以我们可以并行工作，具有不同技能的人可各显神通进行改进。”

Polymath 8项目迅速吸引了掌握恰当技巧的人们，如果自上而下地组织好或许会更有效率。陶说：“此项目将一些从未想到会一起合作的人们汇集到了一起。”

张的3个步骤中，首先得到改进的是最后一步，在这一步骤中他给出一个至少有350万个余齿的容许梳子。张证明了一个有7千万个齿的梳子可用来制作这样的容许梳子，但他并没有特别努力去选择长度尽可能短的梳子。这里有足够的改进余地，于是善于计算的人竞相去寻求小的具有给定个齿的容许梳子。

麻省理工学院的苏瑟兰（Andrew Sutherland）很快成为容许梳子的制作高手。苏瑟兰是位计算数论学家，在张宣布其结果期间正在旅行，并没有对此工作特别关注。但是，他在芝加哥的一个旅馆登记入住并向服务员说明自己来参加一个数学会议后，店员说道：“哇，7千万，是吗？”

苏瑟兰说:“他居然知道这件事让我大吃一惊。”他很快发现，具有他这样计算技能的人可帮助改进张的上界，而且改进余地还不小。“这个夏天我原本有很多的计划，但如今它们都被我撇下不理。”

对于在这一步工作的数学家，他们面临的背景会不断地变化。每当在其余两个步骤工作的数学家减少梳子所需齿数时，他们的任务也随之改变。苏瑟兰说：“游戏的规则天天都在发生变化。”“当我正在睡觉时，在欧洲的人们就会贴出新的上界。有时候，我会在凌晨两点跑下楼去发表一个新的想法。”

Polymath 8项目这个团队使用了遗传算法把容许梳子组合起来产生新的更好的梳子，最终他们创造了这样的一个记录：长度为4680且具有632个余齿的容许梳子。

梅纳德的发现涉及一个有105个余齿的长为600的容许梳子，这使Polymath 8团队的巨量计算变得过时。但这个团队的努力并非徒劳无功，苏瑟兰说寻找小的容许梳子与许多数论问题相关。特别地，正如梅纳德所说，该团队的计算工具很可能有助于改进梅纳德在三元素数组、四元素数组以及更多元素数组方面的结果。

专注于张的证明第二步的Polymath 8项目研究人员，探索在数轴上哪儿放置梳子才最有利于捕获到素数对，并努力弄清所需齿数。由于素数变得越来越稀疏，如果你随意地将梳子放在某处，就可能捕获不到任何素数，更不用说一对素数了。找出寻求素数的最佳区域是变分法的一个问题。

陶说，Polymath 8项目进程在网上公开, 每个想知道“香肠是如何制造”的人都能看到它。博客中讨论的帖子给读者提供了窥视数学研究的独特机会，数学研究通常都是关起门来进行的。

特别地，陶说，网上的帖子和评论清楚地展现出数学思想发展过程中的尝试与错误。加工润色过的研究论文往往让读者觉得它们的作者从未失误过。但事实上，正如陶所说:“伟大的数学家也会犯愚蠢的错误，不过这个过程往往被人们隐藏了，因为那是令人尴尬的事。”

Polymath 8项目的一个基本原则是参与者应该迅速向大家抛出他们的想法，而不必纠结于是否够好。“我们允许在公众面前犯错误，”莫里森（Morrison）说，“这违背了很多人追求完美的天性，但当我们轻松无顾忌地说出也许愚蠢的话时，我们的项目就变得更有效率。”

这或许涉及项目中的一些创新以及那些被梅纳德的工作取代的部分，但这种发展仍是富有成果的。在2013年6月5号，这个团队扫除了一些困惑，把界从460万降到了389922。

张的证明中的第一步涉及到素数分布的处理，聚焦于这一步的研究者工作最艰苦。数学家们了解素数分布的若干规律已经一个多世纪了。比如说，把所有的素数按模3分类，有一半的素数模3余1，一半的素数模3余2。这种规律对识别一个容许梳子能否捕获到一对素数来说是必不可少的，正如苏萨瑟兰所说,“素数不会集中在某一块，而是散在地分布。”但要在证明中恰当地使用这种分布，张以及Polymath 8项目参与者必须去理解一些最深刻的数学知识，这涉及到普林斯顿高等研究院名誉教授德利涅在20世纪70年代的一组定理。这些结果考虑的是有关复杂求和中某些余项的相互抵消。莫里森把德利涅的工作描述为“20世纪数学中一项令人敬畏的大工作”。

加州大学洛杉矶分校的陶哲轩说：“非常幸运的是，我们有几位精通德利涅艰深工作的参与者。在此项目之前，我自己对这方面的知识知道得并不多。”

这个项目没有止步于仅通过提炼这部分的证明来改进界，而是进一步发现可完全绕开德利涅定理（但这样做在界上要付出点代价）。不利用德利涅定理，此项目得到的最好界为14950。

这个对证明的简化比此项目最终得到的界更让人兴奋，因为数学家不仅关心证明的正确性也关注它带来多少新的洞察。格兰威尔说:“我们寻求的是新思想。”

张本人显然游离于Polymath 8项目的进程之外，也许这并不奇怪。他没有密切关注此项目，他说:“我与他们毫无联系。我喜欢安静地单干, 这使我能集中精力做研究。”

梅纳德也没有参与Polymath 8项目。此项目参与者狂热地去改进素数对间距的界时，梅纳德独自地发展不同的方法，该工具源于被人遗忘的10年前一篇先写好后又撤回的论文。

张的工作基于2005年的一篇被称为GPY的文章，GPY源于3位作者的名字，他们分别是Goldston，Pintz和Yıldirim。GPY发展了对一个数近乎为素数的可能性进行打分的系统。例如：偶数的分值很低，被3整除的奇数分值略高一点。这种被称为筛子的计分公式也可用来对一个容许梳子指向的数组进行打分，对于识别出在数轴上何处放置梳子才更有利于捕获素数来说这是至关重要的工具。如何构造一个有效的筛子是很有讲究的，这个公式必须能很好地估计出不同数为素数的可能性，同时还要确保足够简单以便于分析。

在GPY论文发表的两年前，该文的其中两位作者Goldston和Yıldirim，散发了一篇描述他们宣称的有效评分方法的文章。可是几个月后，数学家们发现了此文中的漏洞。当Goldston， Pintz 和 Yıldirim修补了这个错误后，大多数数学家转而关注调整后的评分系统（即GPY版本），而不再关注是否有更好的办法来调整原先那个有问题的公式。