什么是卷积？

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-12-28 12:40

主要观点总结

文章介绍了卷积的定义、计算过程以及其在信号处理、图像处理、卷积神经网络等领域的应用。通过魔术表演作为类比，帮助读者理解卷积的概念。

关键观点总结

关键观点1: 卷积的定义

卷积可以看作是两个函数或信号在某种程度上的“重叠”运算，是数学和工程领域中一种将两个事物结合创造新事物的过程。

关键观点2: 卷积的计算过程

包括翻转一个函数、平移函数以及相乘并求和等步骤。

关键观点3: 卷积的应用

卷积在信号处理、图像处理、卷积神经网络等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，卷积用于对信号进行平滑、滤波和特征提取；在图像处理中，卷积是图像滤波的核心操作；在卷积神经网络中，卷积层通过卷积核提取图像的局部特征。

正文

想象一下，你正在享受一场精彩的魔术表演，魔术师用他的魔杖轻轻一挥，两张看似普通的纸片突然融合在一起，变成了一张全新的、包含两者图案的纸片。这听起来是不是很神奇？其实，这种现象在数学和工程领域中也有一个类似的版本，它就是卷积。卷积，听起来可能有点高深莫测，但实际上，它就像那个魔术一样，是一种将两个事物结合起来，创造出新事物的过程。那么，卷积到底是什么？它又是如何在我们的日常生活中施展魔法的呢？

（图片来源：AI生成）

卷积的定义

卷积可以看作是两个函数或信号在某种程度上的“重叠”运算。对于两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：

其中，符号∗表示卷积运算，𝜏是一个“滑动”的时间变量，𝑡是卷积结果的时间或位置变量。我们可以想象在时间轴上滑动一个信号，并计算两个信号在每个时间点上的相乘结果，然后将所有结果相加，最终得到输出信号。

为了更加通俗地理解这一过程，我们可以想象自己正在制作一杯混合饮料，比如奶昔。我们把草莓、香蕉和牛奶倒入搅拌机中，打开开关，搅拌机的刀片开始旋转，将这些成分混合在一起。这个过程就像是卷积，每个成分（草莓、香蕉、牛奶）则可以看作是一个函数，而搅拌的过程就是这些函数的“卷积”，最终产生了一个新的混合物——奶昔。

（图片来源：AI生成）

在数字信号处理和计算机图像处理中，离散形式的卷积更加常见。对于离散序列f[n] 和g[n]，卷积的定义为：

在这种形式中，卷积通过对两个离散序列的加权求和实现，表示信号在不同位置上的叠加效果。

卷积的计算过程

理解卷积的定义之后，接下来我们讨论卷积的计算过程。以离散卷积为例，假设有两个有限长度的序列f[n] 和g[n]，其长度分别为M 和 N。卷积的计算过程包括以下步骤：

翻转一个函数

将一个函数进行翻转，例如将g[n] 变为g[−n]，这称为函数的反向操作。你也许会疑惑：为什么首先要进行翻转呢？其实这源于卷积的定义和信号处理的物理背景。在卷积中，翻转实际上代表了一种时间反转，它能够确保正确地捕捉到信号的历史对当前时刻的影响，尤其是在处理时间序列时。具体来说，当你滑动一个信号时，你需要查看过去的输入是如何影响当前的输出，因此需要进行翻转。

平移函数

将翻转后的函数g[−n] 按𝑡值平移。这意味着我们需要逐个计算 g(t−n)在每个时刻与f(n)的重叠程度。

相乘并求和

在每个平移位置上，计算f[n] 和g(t−n)的乘积，然后求和。这一步的结果就是在位置𝑡的卷积值。

示例：计算卷积

假设有两个序列f[n]={1,2,3}和g[n]={4,5,6}，我们想计算它们的卷积f∗g。

1.翻转序列g[n]，即g[−n]={6,5,4}。

2.对g[−n]进行平移，并计算每次平移后的乘积与求和。

当t=0时，卷积的计算为：

(f∗g)[0]=1×6+2×5+3×4=6+10+12=28

依此类推，可以得到卷积结果。

卷积的应用

信号处理

在信号处理领域，卷积用于对信号进行平滑、滤波和特征提取。想象你在一个嘈杂的酒吧里，音乐声、人声混杂在一起，你很难听清楚你朋友在说什么。信号处理中的滤波就像给你一个降噪耳机，它可以过滤掉背景噪音，让你只听到你朋友的声音。在数学上，这就是通过卷积实现的，把原始信号（你听到的所有声音）和滤波器（降噪耳机的效果）进行卷积，得到清晰的信号（你朋友的声音）。

（图片来源：AI生成）

图像处理

在图像处理中，卷积是图像滤波的核心操作。图像滤波器，例如边缘检测、模糊和锐化，都是通过卷积来实现的。想象你拿着一张模糊的照片，想要找出照片中的边缘，比如建筑物的轮廓。我们有一个边缘检测的卷积核，它就像是一个模板，我们用这个模板去“扫描”整张照片，找出边缘。

边缘检测卷积核的效果（图片来源：[4]）

卷积神经网络（CNN）

卷积神经网络（CNN，Convolutional Neural Networks）是深度学习中最常用的模型之一，特别适用于图像和视频数据的处理。在CNN中，卷积层通过卷积核来提取图像的局部特征，从而在分类、目标检测等任务中取得出色的表现。与传统全连接层不同，卷积层大大减少了计算量和参数数量，使得CNN在大规模数据上的训练更加高效。