神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来

前文《 神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。

对正十二面体有了一定的具象经验，我们就可以抽象一点来看这个问题。图1是一个平面化的正十二面体。想象一个用橡皮绳拉出的正十二面体笼状结构，图1中五边形外轮廓正是其中一个撑开的正五边形洞。换个说法，将笼子的一个五边形洞拉大到可以摊平到桌面的地步，正十二面体就平面化了。那就要记住这个最大的正五边形轮廓也代表一个面。

给定四种颜色，如何用它们来给这个五边形网的每一个洞眼着色呢？

我们制定一个“先两头再中间”的顺序：也就是先把最里面的以及最外面的两个洞眼涂色（这两块在原立体结构中位于平行相对的位置，下文称为打对），接着涂靠近中心的一圈五个洞眼，最后处理剩下的五个洞眼。

图2显示我们给中心涂色为红色，轮廓（代表相对的被拉大的洞眼）涂色为蓝色。这只是一种着色方案，您也可以根据喜好换任何的两种不同颜色。但是注意，这两个打对的洞眼必须是不同色的！

为何它们必须不同颜色呢？且听我细细道来。

如果我们把同色(比如蓝色)赋给两头的洞眼，那么因为其余10个网眼要么与中心网眼相邻，要么与外轮廓代表的洞眼相邻，它们就都不可再用蓝色了。所以，涂其它10个面只能靠3种颜色了。这显然导致有一色要用4次或更多次。可是每个圈上最多只能放两个同色块(否则在该圈内同色相邻)，于是4个同色块必须按“2-2”格局分属两个圈。即便如此仍不可避免带来问题。因为内圈两个隔开的同色色块会排除了外圈四个区块不得取该色，这就使2-2分配格局不可能实现了,见图3。