无穷大能比大小吗

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2016-12-21 22:58

正文

作者：应行仁

来源：http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-667230.html

无穷，超越了人类直观想象的极限。从几千年前的哲人开始，悖论敲打着理性的头脑。研究实用学问的人都小心翼翼地绕开，直到牛顿以物理的脚步跨越了冥想中阿基里斯无法迈过的间隙。在微积分打开的灿烂世界里，数学家仍然忧心忡忡地观察牛顿闭着眼睛跨过的间隙，企图在这不可知的深渊上架起一座桥梁。这最根本的基石落在了集合论上。

无穷大指比任何自然数都要大的量，要了解这个量是怎么来的，就要从集合谈起。集合论是现代数学的基础。无穷集合的处理决定了极限、测度、分析、概率、几何，这些严谨理论的理解。学理工很多人接触过无穷集合的概念，也许知道些背后的公理，只是一般的课程都语焉不详，网上文章抄来抄去，在表面字义上引申发挥。其实这些知识并不深奥，与其雾里看花，不如花一点时间在逻辑上弄懂。这篇普及文只假定你有简单的集合概念【1】，除此不需要其他预备知识，按照纯数学教科书证明的思路，加上点形象的说法，让你很快了解这里的概念，从逻辑上想通之间的关系。要想有收获，下面内容要在头脑用逻辑里过一遍。

有限集合和自然数集合的元素，都是可以被逐个数到的。如果一个集合里的元素都能够按某种次序数到，在数学上称为“可数的”（Countable），这集合便称为“可数集”或“可列集”。整数是可数的，因为从0开始，依1、-1、2、-2、3、-3…，一正一负地走远，任何整数都能按这规则被数到。偶数可以用同样方法数过，它也是可数的。轮流对两个集合上元素依序点数走遍全体，说明了可数集的并集也是可数的。这个通俗化的语言定义中有个关键词“被数到”，就是说集合中任何一个具体的元素，都会按这规则对应着一个有限的序数。

由集合可以定义一个数，称为集合的“基数”或者“势”（Cardinal number），集合A的势记为|A|。有限集合的势是集合中元素的数量，是个正整数。自然数集合N有无穷多个元素，数量是无穷大，它的势记为

势能比较吗？康托尔（Cantor）提出个一一对应的办法。如果两个集合的元素存在着一个一一对应的关系【2】，即如果按照某种规则，一个集合中任何一个元素都能在另一集合中找到唯一的一个元素与之相应，反过来也一样，则说这它们的势相等。如果集合A对集合B有这样的对应规则，则集合B的势可能比A大，记为|B|≥|A|；但反过来时却没有这样对应规则的，则说集合B的势比A大，记为|B|>|A|，俗称集合B比A多。例如：每个公民有张身份证，公民的集合和身份证的集合等势；5个苹果的集合比红、黄、绿3种颜色的集合势大；网上马甲集合的势比博主集合的势大；

假如（0，1）区间的实数也是可数的，那么这里任何一个实数对应着一个自然数n，排成一个序列，表中第n个实数就可以表示为F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3)...，这里a(n,k)是序列中F(n)的第k位小数的数字。现在定义一个新的实数b=0.b(1)b(2)b(3)...，其中的b(k)=7如果 a(k,k)=5，否则 b(k)=5。因为b的每一位小数都和顺序表中任何一个实数不一样，这个b不可能在这表中。但顺序表假定是列出了所有（0，1）区间的实数。这个矛盾证明了实数是不可数的。

所有集合的势都可以比较吗？对有限集合肯定没问题，无穷集合中的可数集，实数集，集合和它子集的集合，上面都给出了肯定的答案。其他的无穷集的势呢？它们也是无穷大，既然有不同的无穷大，它们都能比较吗？用数学的术语来说是：集合势的大小关系是良序的吗？这个问题在朴素集合论中不能回答，也不能在ZF公理系统【3】中得到答案，人们在ZF中增加了一条公理叫选择公理CH，它与良序性等价。有了它所有的集合势就都可以比较了。

上述无穷大的反直觉的性质，让一些喜欢直觉的人很不舒服。他们认为无穷集合不能像有限的那样，可以逐个检查验证，上面结果的几个关键证明，都是采用反证法的思辨。荷兰数学家布劳威尔认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合中。1908年，他反对把排中律运用于无穷集合上，也就是说在无穷情况下，不能用反证法。抽去了反证法这个支柱，这个无穷集合势的大厦轰然崩溃。现代数学的大部分结果都要重新考证。他认为除了可数集合之外，没有其他无穷集合，数学无穷集合只有一个势，即可数无穷。只有一种无穷大！

康托尔几乎凭借着一己之力掀起思想革命，提供了平定数学界混乱的基础，当时的数学领袖希尔伯特信心满满地带领大家在上面建造新的大厦，布劳威尔的宣言几乎是破坏这安定团结的反动，将数学带回这革命前的混乱，希尔伯特终于忍无可忍地回应：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”布劳威尔激进的性格终于使得这矛盾不可协调，被排斥出主流数学界。

布劳威尔是数学直觉主义的创始人，坚持所有数学对象必须是可以构造的，不能用排中律。上世纪三十年代初，由于哥德尔的工作，一些数学家开始重视直觉主义，但与主流数学的汪洋大海相比，直觉主义与后来比较温和的构造主义取得的成果就非常有限了。最令人尴尬的是，布劳威尔一生最伟大的成就——布劳威尔不动点定理，却是用自己所极力反对的，非构造性的方法来证明的。

我们在这里看到数学的矛盾和争论，看到反复斟酌的公理。有人疑惑到底这些公理对不对？到底是信仰还是事实，在矛盾之中，哪个是真理？这是对数学不理解了，数学的研究是从一些非常基本的假设中，应用逻辑来看能够走多远，能够得到什么有用的结论。这些假设只要是自洽的，无关对错，只关是否有用，能否在应用时被接受。构成数学体系称为公理的假设，很多是非常基本近乎定义性的同语反复。还有一些公理被引入，是为了修补支撑已在实践中被广泛应用的数学结果和工具。被排斥的一些公理，不是因为错了，而是假设太强了，在这假设下得不到足够广泛有用的结果。

喜欢数学对一些基础问题感兴趣的朋友，建议花点时间学习“点集拓扑”，即使是只学一两章也可以受益无穷，上述关于无穷集合的内容，只占General Topology【5】，第一章的中间部分，不到几页的内容，除了逻辑的头脑，几乎不需要其他基础。现代的分析数学是建立在在点集之上，由子集定义开集，用开集构造拓扑空间，引进邻域，在此定义收敛，连续，紧，距离，连通性，各种空间。数学系统所的程代展和我都曾经在国内修过分析和泛函，到美国第一年学了两个学期的拓扑，像中学生一样一道道题做，把各块石头都摸过，这让我们对数学有种脱胎换骨的感觉。在这个基础上重学了测度、随机过程、微分几何才觉得脚下是坚实的基础，一切概念和原理都可以回溯追问到集合的公理为止。这时候才感到：数学，不是教你怎么计算的，而是怎么引进假设，合乎逻辑地思考。