微分几何与代数几何中的正性

Riemann映照定理是复变函数中最基本的定理之一，它叙述为复平面C中每个单连通区域（复平面C除外）均可由1-1解析映射映成单位圆盘D。这个定理是由Riemann在1851年给出的，但他当时的证明是不完整的（因为他用到尚未验证的Dirichlet原理）。 1881年，Poincare（及Klein）提出了把Riemann映照定理推广为Riemann面单值化定理的设想。更具体地， 单值化定理叙述为每个单连通Riemann面必全纯同胚为复射影空间CP^1（即2维球面）, 或复平面C, 或单位圆盘D。 直到1907年， Poincare和 Koebe才给出了单值化定理的严格证明。

如何把单值化定理推广到高位情形是数学研究中的重要课题之一。从20世纪50年代起，数学家们逐步认识到可以用几何条件来刻画高维流形。例如，作为单值化定理的一个重要推论，人们知道任何一个紧Riemann面的万有覆盖必全纯同胚于复射影空间CP^1, 或复平面C, 或单位圆盘D。这也对应于人们熟知的亏格为0，或 1，或亏格大于1的紧Riemann曲面。从曲率角度来讲，它们分别是曲率大于0， 等于0 以及小于0的三类曲面。高维的单值化猜测由流形的曲率来刻画，且由如下三个猜测组成：

Frankel 猜测  每个具有正全纯双截曲率的紧致Kahler流形必全纯同胚于复射影空间CP^n。

丘成桐猜测   每个具有正全纯双截曲率的完备非紧Kahler流形必全纯同胚于复欧式空间C^n。

伍鸿熙猜测   每个具有负截面曲率的紧致Kahler流形均由复欧式空间的某个有界域覆盖。

Frankel猜想由萧荫堂和丘成桐在1980年左右完全解决。另外两个猜想至今均未完全解决，丘成桐，萧荫堂，莫毅明，朱熹平，陈兵龙， Chau-Tam，刘刚等数学家取得过重要进展。 

曲率是微分几何中刻画流形的重要条件，在拓扑以及代数几何上也有类似的表述。在拓扑上，人们可以用最简单的曲面（例如复平面C）来刻画流形的几何和拓扑。例如，如果复平面C到复流形M的全纯映照像都是平凡的，则复流形M被称为双曲流形。从微分几何角度看，双曲流形就是某种负曲率流形，类似于单位圆盘。代数几何学家关心复代数流形是否含有有理曲线（即一维复射影空间CP^1）。同样地，含有有理曲线的复代数流形具有某种正曲率。因此，流形的几何，拓扑以及代数几何性质均可由流形的曲率刻画。

    近年，中科院数学与系统科学研究院杨晓奎研究员运用微分几何、代数几何、拓扑、复分析和PDE等综合技术，深入研究了流形的几何，拓扑，以及代数几何之间的联系，取到了一系列原创成果，解决了若干复几何与复代数几何领域长期悬而未决的公开问题。他在这个方面的代表性工作有：完全解决了丘成桐教授40年前提出的正全纯截曲率猜想：若紧致Kahler流形的全纯截曲率为正，则流形上的任何两点都可被有理曲线连接起来；代数流形能被有理曲线覆盖当且仅当其具有正数量曲率的度量；(与美国西北大学Valentino Tosatti教授合作)完全解决了丘成桐教授提出的负全纯截曲率猜想：若紧致Kahler流形的全纯截曲率为负，则其典则线丛是丰沛的；(与中山大学陈兵龙教授合作)解决了Wolf和Abel奖得主Gromov提出的公开问题：每个紧致Kahler双曲流形的典则线丛都是丰沛的。