【说明】 本文修改了上一次发布的推送中的部分笔误．第一版原文链接是：

2024年新课标Ⅰ卷数学第19题（个人解答）

今天分享的是 2024年新课标Ⅰ卷第19题的Fiddie个人解答．前面的题考完再给解析！请安心复习！

因为编辑得比较仓促，如果有误请在评论区指出．

如果需要转载请务必标明出处．否则会被我挂出来．

题目（回忆版）

【2024新课标Ⅰ，19】

设 为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和 () 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 是 -可分数列．

（1）写出所有的 ，，使数列 是 -可分数列；

（2）当 时，证明：数列 是 -可分数列；

（3）从 中一次任取两个数 和 （），记数列 是 -可分数列的概率为 ，证明：．

Fiddie分析与解答

（1），， ．

（2）把前14个下标写出来：

这里一共有12个数，尝试把这12个数分成3组数，使得每组数都成等差数列． 可以发现，如下分组，那么每组都是公差为 3 的等差数列．

而可每取4项分为一组，即取

其中，那么每组都是等差数列．

综上，数列 是 -可分数列；

（3）首先我们再作一个观察．根据（1）（2），假如把（2）中的13换成1，那么可以容易验证这个数列是 -可分数列．那能不能验证它是 -可分数列呢？可以．只需把 这8个数分成2组，那么每组都是公差为 2 的等差数列．

余下的数如下分组取：

其中，那么每组都是等差数列．

那能不能验证它是 -可分数列呢？好像不能．所以按照从特殊到一般的思考路径，本题的解答思路就出来了，感谢Fiddie：

（i）当时，

对于 ，我们可以验证这个数列是 -可分数列．

一般地，对，，，应当可以验证这个数列是 -可分数列．我们只需把

分成 组，每组的公差都是 （ 是数列 的公差），如下：

上面每组都不包括 和 ，并且每组都没有重复的下标．

而其它数字可以如下分组：

其中 ，一共 组；

其中 ，一共 组．

这样，就能把原数列分成 组，每组都构成等差数列，上面的分法一共有

再来验证原数列是 -可分数列，其中 ，，．这就比较简单了，只需如下分组：

其中 ，这里共 组；

其中 ，这里共 组；

其中 ，一共 组．

这样，就能把原数列分成 组，每组都构成等差数列，上面的分法一共有

因为从 中选两个数的方法是 种，所以

命题得证．

（ii）当 时，由（1）得

（iii）当 时，当 , , , , , 时，数列 是 -可分数列，所以

综上，对任意 ，都有 ．

真题链接

教育部这么命题其实早有企图．教育部教育考试院在2018年左右发布了一套“命题标准样题”，链接如下：

为七省联考做好心理准备！教育部早在2018年就释放了高考数学改革的信息！

其中，第16题是将解三角形、数列、概率结合的问题，与2024年新课标Ⅰ卷第19题几乎一致：

【命题标准样题，16】
设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为 ，这些三角形的个数为 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）在中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．
附：．

本题的参考答案如下：