作者 | 林开亮
在数论中，有许多有趣的难题，有些已经解决了，如著名的费马大定理，它断言，当
时，不存在满足
的正整数
。英国数学家怀尔斯对这个问题的解决，是 20 世纪数学的一项重要成就。
不过，还有一些说起来简单、做起来困难的数论问题仍未解决，比如我们这里要介绍的三立方数之和的问题。
1957 年，英国数学家莫德尔
（Mordell）
问：哪些正整数可写成三个立方数
（这个立方数可正可负也可以等于 0）
之和？
容易看出，前三个正整数都可以写成三个立方数之和：
而且，3 还有另一种写法：
至于接下来两个数 4,5, 利用一个简单的推理，可以说明它们都不能表示成三个立方数的和。事实上，可以证明，所有形如
(其中
是整数）的数都不能写成三个立方数之和。原因在于，任何一个立方数除以 9 的余数只能是
或
。推理如下：若
，则
，它被 9 整除；若
，则
它被 9 除余 1；若
，则
它被 9 除余
。于是，三个立方数之和除以 9 的余数只能由取自
中的三个数求和得到，从而不可能得
或
。
接下来考虑
，不难发现
到 12 就不太容易了，事实上它也可以
（你可以试一试软件，如 https://www.wolframalpha.com/）
：
至于接下来的两个数，13 和 14，注意
肯定不能写成三个立方数之和。到 15,16, 17,18,19,20 又变得容易了：
到 21 又要求助软件了：
22 与 23 被 9 除余数分别为 4 和 5，不必考虑，接下来我们有
接下来到 30 了，求助一般的软件可能也帮不上忙了。事实上，直到 1999 年，哈佛大学的数论专家 Noam D. Elkies 以及佐治亚大学的四个研究生组成的团队才各自独立地给出 30 分解为 3 个立方数之和的表达式
（都是基于 Elkies1996 年提出的算法）
：
一般而言，对给定的正整数
，假定它除以 9 的余数不是
，要将它分解为 3 个立方数之和这个问题是很困难的。例如，像
也是到了 1992 年，才由 Heath-Brown, Lioen, te Riele 基于 Heath-Brown 的深刻算法给出.
到 2008 年，数学家已经对 1000 以下的满足除以 9 余数不是
的正整数
, 求出了将
分解为 3 个立方数之和的表达式，除了以下 14 个数未知:
2016 年，Sander G. Huisman 第一个得到
的分解
2019 年，Andrew Booker 第一个得到
的分解:
2019 年 9 月，Booker 与 MIT 的数学家 Andrew Sutherland 合作，首次得到
与
的分解:
此外，他们还得到了 3 的一个意想不到的分解:
这就对 Mordell 1953 年提出的一个问题给出了回答. Mordell 曾经问，
除了已知的两组整数解
之外，是否还有其它解？Booker 和 Sutherland 的上述结果对此给出了肯定回答.
目前所有的结果与努力似乎都在支持 Heath-Brown 1992 年提出的下述猜想:
Heath-Brown 猜想
: 设
是一个正整数，且除以 9 的余数不等于
或
，那么存在无穷多个三元整数组
满足方程
在
（其中
为正整数）
的特殊情况，这个猜想是成立的。这是因为，数学家 A. S. Werebrusov
（1908 年）
与 K. Mahler
（1936 年）
分别给出了以下两个参数解
（分别对应于
与
):
