勾股定理的365种证明

勾股定理的证明实在太多了。

有一阵倒水证明很火。

但我觉得倒水有点问题，水是液体，有时不好处理。可改成其他，譬如小颗粒。

将一张正方形纸片折一下，其中就蕴含一种证明。不妨设正方形边长为1，对折后生成T1，T2，T3三个直角三角形。设T1的三边为x，y，1-y。则可以顺次推出T2，T3两个三角形的边长。

勾股定理是初等几何的著名定理之一. 它的内容为“直角三角形两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积”. 即“如果直角三角形两直角边长度分别为a 和 b, 斜边长度为 c, 那么 a²+ b²= c²”.

这个定理的内容简洁优美, 证明方法也是五花八门, 各式各样. 从古到今,无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明, 得到了很多有趣的证法.于是就有了一个问题: 勾股定理到底有多少种不同的证明方法? 这个问题的答案在作者看来是无穷多种, 比如从本书中介绍的十字分块法就可以得到任意数目的分块方案, 每个分块方案都可以产生一个证法. 所以这个问题可以转化成:勾股定理到底有多少种不同的有代表性的证明方法? 下面是笔者在撰写本书前查找到的一些资料, 它们的回答如下:

1.  美国数学月刊杂志于 1896—1899 年连载了一篇名为《New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem》的论文, 作者为 B. F. Yanney 和J. A.Calderhead, 里面介绍了 104 种勾股定理的不同证法.

2.  E. S. Loomis 撰写的 《Pythagorean Proposition》一书中共提到 367 种证明方法. 不过据笔者仔细阅读和研究, 该书的一些证法其本质上是相同的, 个别证法甚至存在错误, 有些证法仅是证明了等腰直角三角形的情形, 因此不算完整的证明. 即便如此, 该书中有效的证明方法也接近 300 个.

3.  由王岳庭、 程其坚编著, 内蒙古人民出版社于 1985 年出版的 《定理的多种证明公式的多种推导》 一书中介绍了勾股定理的 48 种证法.

4.  进入 21 世纪以后, 国外的数学爱好者建立了一个和勾股定理证法相关的网站 (参见文献 [3]). 到本书定稿时,该网站已收录了 118 种不同的证法.

本书在前人工作的基础上, 对已有的勾股定理的证法进行整理和改编, 去粗取精, 并加入了 56 种作者自己发现的证法.最终本书给出了 365 种不同证法.

考虑到不同层次读者的知识水平, 本书的内容编排尽量遵循从易到难、从特殊到一般的原则. 以分块法开头, 目的是从一些简单易懂的例子出发, 让小学生都能动手进行图形的裁剪和拼接, 加深对这个定理的直观印象, 由此再演变出割补法和面积法. 对初中生而言, 面积法和相似法都是可以接受的内容, 所以一个初中学生经过努力和思考，应该可以看懂书中 2/3 的内容. 最后以泛化法结尾, 把勾股定理的结论一般化, 符合一般读者的认知规律. 读者在阅读和思考的过程中可以不断地提升自己的数学修养, 体会数学的抽象之美. 总之一句话,不论您是几何初学者还是数学大家, 在这 365 种证法中, 总有一“款”适合您！

需要指出的是, 虽然本书的内容为勾股定理的各种证明，但本书的主要目的是挑战思维极限，这个极限并不是说去刻意追求证法的数量, 而是要挑战读者的思考极限, 能够将平面几何中的常见证明思路结合起来, 学以致用, 理解不同定理间的横向联系,达到融会贯通的目的. 如果读者在读完本书之后, 开拓了自己的视野, 体会到了思考的乐趣, 甚至能在本书的启发之下得到新的证法,这将对读者和作者都是一件很有成就感的事. 这才是挑战自己思维极限的真正体现.

江湖上一直有个传说，一个定理流传千年，证法数百种。你肯定知道这个定理，但你真见过这些证明吗？勾股定理被称为几何学的基石，我曾经花费很多时间去整理资料，研究探讨。可惜直至今日，由于种种原因，我还没有完成这项工作。很高兴看到李迈新老师非常认真地收集整理资料，完成这本著作。365种证明呈现在大家面前，不再是传说！

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