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物理史上首份“拓扑图鉴”，铺平科学家寻找拓扑绝缘体之路

中国物理学会期刊网 · 公众号 · 物理 · 2017-07-28 10:00

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如何在带着脚镣的情况下脱内裤？如何在吃麻花的时候不让它散成碎屑？如何把甜甜圈变成咖啡杯？这两个问题看似普通的益智游戏， 背后却是一门霸占了近期物理界头条的前沿技术 —— 拓扑物理学。

当一些科学家还在以“试错”的方式苦寻新材料时，拓扑物理学家已经开始乘上了探索的高速列车。 上周，《Nature》刊登的一篇论文就为我们展示了 一份意义深远的“拓扑图鉴”， 从原理上揭示了哪些材料会具有拓扑效应——这将帮助科学家深刻探索马约拉纳费米子、外尔费米子等奇异粒子——在这点上， 最近关于“天使粒子”的研究成果就是在超导拓扑材料上达成的。

拓扑绝缘体具有非常神奇的特质，它内部绝缘，表面导电； 是导体和绝缘体两种相反性质的结合。而且，其导电的表面态源于材料整体的内禀性质， 任何杂质和缺陷都不会影响它。

想象一种电阻值不受长度、横截面积影响的导体；想象一台放在你桌面的量子计算机；想象一种甚至不靠电流传递电信号的元件 ——这些就是拓扑材料在我们生活中的潜在应用。但是，由于涉及到对能级计算、对性质的构想，寻找新的拓扑绝缘体通常是一个艰苦的过程。

图丨二维拓扑绝缘体

然而，普林斯顿大学物理学家Andrei Bernevig 团队却找到了一条捷径。《Nature》上发表的“Topological Quantum Chemistry”一文中，他们提出了一套方法论；通过列出晶格中可能存在的能带、对比 230 种不同的对称性、计算化学上的成键轨道，找出原则上能容纳拓扑状态的材料。

该团队表示， 呈现拓扑效应的材料占现有晶体材料的 10% 到 30%， 也就是说很大一部分化合物都将是拓扑材料的候选者。Bernevig说道：“事实上，截止 目前为止，我们所知道的仅仅是海量拓扑材料中的一小部分，更多的材料将等待我们挖掘。”

图丨普林斯顿大学Andrei Bernevig 团队发表的“Topological Quantum Chemistry”一文

那么，为什么实际找到的材料和理论预测的数量差那么远呢？ 这是因为，在对晶格的理解上 “物理学派”和“化学学派”的观念是分离的 。高中的化学知识告诉我们， 晶体的链接源于单个原子间的化学键，这对晶体的理解是局部的 。 而物理学家却从能带结构、费米面、k空间等概念上思考， 这对晶体的理解是整体的。 因此，才导致了现在的被动局面。

其实， Bernevig的方法就是把两种认知模式结合了起来， 从而提出了这套“拓扑图鉴”。 清华大学的物理学家李渭对此表示：“这绝对是一个更加有效的寻找新拓扑绝缘体的方法，我相信将会有更多的新材料问世。”

图丨该团队为判定拓扑绝缘体提出的方法步骤

尽管有了“拓扑图鉴”，科学家仍需在在实验室继续探索。论文的共同作者、马克斯普朗克固体化学物理研究所的材料科学家 Claudia Felser 提醒到， 知道物质具有一些拓扑状态并不意味着立即能预测它的性质，材料的这些特性仍然需要被计算和测量。

除此之外，研究者面临的另一个障碍 是“强相互作用”拓扑材料。 因为在绝大多数目前的研究对象中， 电子相互间的静电排斥力非常的弱，对拓扑效应影响较小； 而强相互作用则会给科研工作带来困难。

一旦解决以上问题，等待人类的将是一个我们无法想象的全新物理图景。 首个三维拓扑绝缘体的发现者、普林斯顿大学的 Zahid Hasan 表示， 数学和物理间的相互交叉是这个领域的核心，正是拓扑的极致之美与现实的可行的交融驱使着我们不断的探索。

拓扑学是什么？

科学家们花了这么大力气弄这么一个图鉴出来，可不是闲着没事干。 在过去十年中，拓扑物理学正经历着一种爆炸式发展 ：现在的凝聚态物理论文中，很少有标题不带“拓扑”字样的文章。

如果你不想错过这些重大发现，同时希望不被媒体误导，你一定不能错过下面这一波科普。

在数学上，拓扑学是研究多维几何与空间性质的一门学科，其研究对象必须在拉伸、旋转、翻折的条件下保持等价的连通性和紧致性；而不必考虑剪切、断裂的情况。

通俗地举个例子， “甜甜圈”我们生活中最常见的拓扑图形。 它中间有一个洞，当我们把甜甜圈拉伸、旋转、翻折之后，这个洞依然存在；但如果甜甜圈被切断了，洞就不存在了。所以， “洞”就是该环面的拓扑特征。 而严格地说， 环面（也就是甜甜圈）的拓扑学定义是两个圆在三维空间中的笛卡尔乘积。

图丨环面（也就是甜甜圈）的拓扑学定义是两个圆在三维空间中的笛卡尔乘积

在某种角度说，拓扑学也是一种从几何的角度看待事物的方式方法。 以电子为例，在奇特的量子物理世界中，电子拥有1/2自旋，对电子自旋进行360度的旋转将得到相反的自旋方向，即电子波函数的相位改变了180度，使得之前波峰的位置变成了波谷，波谷的位置变成了波峰。如果想要使电子自旋恢复到初始状态，还需要再转360度。

如果从拓扑学上看这个性质，电子就像一条扭转一圈后首位相连的莫比乌斯环。 如果一只蚂蚁在莫比乌斯环上爬了一圈，它会发现自己位于出发点的对立面，若想回到初始地，它需要再爬一圈才行。这不正是电子自旋中所发生的“拓扑怪相”吗？

图丨电子自旋与莫比乌斯环

事实上，所有由波函数数学结构所形成的几何空间内都存在“拓扑怪相”， 就好比每个电子都是一条莫比乌斯环，带着某些有趣的拓扑原理。

量子霍尔效应

最初， 大多数物理学家研究量子概念时也没考虑过它们的拓扑意义。 直到在上世纪80年代，英国物理学家David Thouless等人才意识到， 拓扑理论或许能解释当时刚刚发现的量子霍尔效应。 他们具有前瞻性的研究也在去年被授予诺贝尔奖。

其实， 霍尔效应在传统电学中就已经出现 。我们高中的时候就做过这样的题：

看到这张图你们有没有百感交集？说白了，霍尔效应就是运动的电子会在垂直的磁场中受力，从而遵从右手定则发生偏转，而偏转的运动则带来电势差。

而在量子霍尔效应中，电子在极低温下被约束在二维平面上运动。 这时，霍尔电阻的图像中出现了诡异的 整数化量子平台 。经1985年诺奖得主Klaus von Klitzing测算后，确定该电阻值为 e^2/h的整数倍，也就是元电荷的平方与普朗克常数之比的整数倍。

图丨霍尔效应与量子霍尔效应

奇异的是，即使试验中的金属 板遭到拉伸、旋转、翻折，甚至存在杂质，其霍尔电阻仍然是该数值的整数倍， 这是从前科学家闻所未闻的。

拉伸形变？这么听起来是不是感觉似曾相识？是的， 正是拓扑性质在这一现象中作祟。 正如电子自旋一样， 量子霍尔效应也可以被类比为一种常见的拓扑图形——环面。 在推导霍尔效应波函数时，设立的边界条件会形成 一个几何意义上的参数空间，该参数空间在拓扑学上与环面等价。

图丨笛卡尔坐标上的环面

从量子霍尔效应到拓扑绝缘体

可以说， 量子霍尔效应是拓扑学在量子领域的“处女秀” ，也是 迈向现代拓扑绝缘体的第一步。

科学家很快意识到，类似的”霍尔效应”可以在不施加外部磁场的条件下实现——在某些特殊的绝缘体中， 材料能通过电子和原子核之间的相互作用自己维系磁场，使得材料表面的电子具有坚固的“拓扑保护”状态， 并在没有阻力的情况下流动 ；最终形成表面导电、内部绝缘的“拓扑绝缘体”。

拓扑绝缘体的特殊性质使其在种类繁多的导体、半导体、绝缘体材料中有着特殊的意义。

首先， “拓扑保护”是拓扑性质对其表层电流的稳定性的绝对保证， 材料的表面必定是一种优良的导体，我们几乎能够能得到 不受老化影响的、恒定不变的电流。 想象一种 电流绝对稳定、电阻不受长度和横截面积影响的电路材料， 工程师们是不是很激动？

除此之外，该材料的另一神奇之处是，在其表面电流中 ，自旋方向不同的电子运动方向是相反的； 这就像高速公路上的双行道，方向不同的车辆在两边有条不紊的行进，而不能相互越界。

图丨在拓扑绝缘体表面电流中，自旋方向不同的电子运动方向相反

通过控制这些这些电子的自旋， 科学家能在此基础上制造代替传统元件的 “电子自旋”材料。 在传统电路中，晶体管通过电流的“开”和“关”来表示“0”和“1”的状态，来传输数据。 而自旋材料中，我们能把信息装载在一个个单独的电子之上，通过其自旋的“上”与“下”来进行运算。 或许，拓扑绝缘体的表面就是这种传输方式的绝佳载体。

图丨普通材料与自旋材料的对比

而基于拓扑性质的另一项应用，则是量子计算机。 目前， 量子计算的最大障碍是所谓的“退相干”效应， 任何环境的影响都可能导致量子比特的纠缠态坍塌，所以降低环境噪音是工程师的首要目标。

大家知道，量子计算机在超导电路上运行； 试想，如果在拓扑绝缘体表面再附上一层超导体， 我们将得到两种超级材料的加成—— 急速无损耗电流+拓扑保护。 在拓扑保护之下，电路的运行将比平时稳定的多，也许退相干的问题就能得到解决。

而且，在拓扑量子计算机中， 量子比特是由一种被称之为 “任意子”（anyon）的二维准粒子构成的 。对任意子的操作会在时间上形成一种编织（braid） ，最终成为量子计算机所需的门电路。该计算机与其他量子计算机能力相当，甚至在某些算法上还具有优势， 但其最大的优势在于其稳定性和容错性， 因为它是基于量子比特拓扑结构来进行信息处理的。打个比方说， 把两股线剪断之后再相互对接（拓扑量子比特退相干）比让两股线自然散开（其他量子比特退相干）要难得多。