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不动点定理
fixed point theorem
基本含义
被这个函数映射到其自身一个点
举例
取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。
通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。
纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团）
假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。
就是说：
整个纸盒对应于纸团
纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块
…………………………
不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。
函数
例如，定义在实数上的函数 f，
f(x) = x² - 3x + 4，
则2是函数f的一个不动点，因为 f(2) = 2。
也不是每一个函数都具有不动点。例如 f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点 (x,f(x)) 在直线y = x上，或者换句话说，函数 f(x) 的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。
不动点定理（fixed point theorem）
非线性泛函分析理论的重要组成部分，特别是在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用。下面是几类重要的不动点定理：
(1)压缩型算子的不动点定理。
设(X,d)是一个度量空间，
设T映X至自身，
如果存在常数 α∈(0,1)，
使得d(Tx,Ty) ≤αd(x,y)，∀x,y∈X，
则称T为压缩映射。
这类型映射的第一个重要不动点定理属于巴拿赫，他证明完备度量空间上的每一压缩映射都在该空间中存在唯一不动点，这个不动点可以从任意点x₀出发，通过简单的迭代法求出。令xₙ=Tⁿx₀,n=1,2,…,则 xₙ 收敛到不动点。在定义中若 α=1，则称T为非扩张算子。实直线上的一个平移显然是非扩张，但没有不动点。然而对于一致凸的巴拿赫空间的一个有界非空闭凸集C、若T：C→C是非扩张的，则T在C上必有不动点。
（2）紧凸集中映射的不动点定理。利用布劳威尔度理论建立的布劳威尔不动点定理是指有限维线性空间中有界闭凸集Ω（杠）具有不动点性质，即任一映Ω（杠）到Ω（杠）的连续映射具有不动点。绍德尔(T.Schauder)证明了线性赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质。绍德尔不动点定理在微分方程和不变子空间问题上都有着重要的应用。
（3）半序集中映射的不动点定理。它是建立在序的概念的基础上。设(X，≤)是一偏序集,算子 T：X→X称为保序的,如果当 x≤y 时,就有 T(x)≤T(y)。对保序算子T也有类似的不动点定理。最基本的一个结果是：若存在b∈X，满足 b≤T(b) 且 X中的每个全序子集都有上界，则T的不动点集非空且有极大元。
在完备度量空间(X,d)中，利用实值函数φ：X→ℝ规定X上的半序≤：x≤y⇔d(x,y)≤φ(x)-φ(y)，∀x,y∈X，得到一个非常有趣的不动点定理：
设T：X→X 是任意映射(不一定连续)，满足d(x,T(x)) ≤ φ(x)-φ(T(x))，对任意 x∈X,其中，φ：X→ℝ是有下界的下半连续函数，则T至少有一个不动点。
(执笔：阮颖彬 校阅：李炳仁)
