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分数和无限循环小数为什么可以互相转化？

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2019-08-25 07:22

正文

作者 | 民间数学家

来源 | 职业数学家在民间

大家都还记得小学数学老师教你们的一个基本知识吗：

分数能除尽等于有限小数,

除不尽等于无限循环小数!

比如 1/3=0.33333333333........

不过，不知道大家当年听到老师讲这个知识点的时候，有没有问一句

为什么？

如果当年没问的话，今天我们一起把这个" 为什么 "补上吧！

一、无限循环小数为什么可以转化成分数？

我们先来回答一个更简单的问题：

为什么无限循环小数可以转化成分数？

先看看一个非常著名的数学等式：

0.9999.....＝1

这个广为流传的等式让许多人着迷，甚至不少人把它看成一个悖论。其实这是无限循环小数转化成分数的一个特例(注意1也是分数1=1/1)，我们可以这样来说明：

设 x=0.999..... 那么10x=9.999.....

而9x=10x-x=9.999.....-0.999.....=9

所以 x=1。

这种技巧可以用来说明为什么所有的无限循环小数都可以转化成分数。比如

设 x=0.3232323232.........

那么100x=32.32323232.........

而99x=100x-x=32

所以 x=32/99。

再举个复杂的例子

设 x=0.437 437 437 437.........

那么1000x= 437.437 437 437.........

而999x=1000x-x=437

所以 x=437/999。

这种技巧还告诉我们，反过来，分母为99....9的分数都可以转化成无限循环小数，比如

2/9=0.2222222222.....

112/99=1+ 13/99 =1.1313131313.....

325/999=0.325 325 325 325.....

二、分数 为什么可以转化成 无限循环小数 ？

我们现在可以回答更困难的问题：

分数为什么可以转化成无限循环小数？

上一节讲过，分母为99....9 的分数都可以转化成无限循环小数。所以我们希望把所有的分数都转化成这种特殊类型的分数。

最简单的方法就是让分子分母同乘以一个正整数，这并不会改变分数的大小，比如

5/3=15/9=1+6/9=1.6666666......

5/11=45/99=0.45454545......

10/37＝270/999=0.270270270......

更复杂的是5/7

需要多少个9才能让 99....9成为7的倍数呢？

答案是6个9!

5/7 ＝714285/999999

=0.714285 714285 714285......

但是 99....9这种类型的数是没有 2和5 这样的素因子的。有些分数，如果它的分母含有2或者 5这样的素因子，那么无论分母乘以任何正整数，都不会变成 99....9，比如 3/28，7/15

如何将这类分数转化成无限循环小数？

很简单，只要将这个分数的分子乘以10的某个次方，再约分就可以把 2和5 这样的素因子干掉。

比如

7/15 → 70/15=14/3=4+2/3=4.666666.......

3/28 → 300/28=75/7＝10+ 5/7＝

10+714285/999999 ＝10.714285 714285 714285......

很多人可能要问，分子乘以10的某个次方，整个分数的值就变成了原来的10...0倍了呀。

这个不用担心，只需把最后得到的小数的小数点往左移几位就好了。

三、欧拉定理的保证

我们来总结一下把分数转化成无限循环小数的几个步骤

一，将分子乘以10的 n 次方，再约分，使得分母没有素因子2和5，也就是说使得分母与10是互素的。比如

7/15 →70/15=14/3

3/28 →300/28=75/7

二，这时分母与10是互素的，我们要寻找一个能被分母整除的纯9的数： 99....9，再把分数通分，使得分母变成 99....9，比如

5/7＝714285/999999

三，根据第一节的法则把分母为99....9的分数之间写成无限循环小数，比如

1001/999=1＋2/999=1.002002002......

四，把得到的无限循环小数的小数点往左移 n 位

但是，这里第二个步骤还有个问题，你看出来了吗？

当分数的分母n与10互素时，谁能保证一定能找到一个被n整除的99.....9呢？

还记得昨天的文章《时钟上的算术》吗？里面的欧拉定理告诉我们总能找到这样的一个 99.....9

(欧拉定理)设a是与n互素的正整数，则 a ^φ(n

分数和无限循环小数为什么可以互相转化？

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