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帕斯卡“赌徒论证”vs“混合型策略”挑战 | 汤志恒

文史哲杂志 · 公众号 · · 2025-01-18 18:30

正文

摘要

帕斯卡的“赌徒论证”是宗教哲学中与本体论论证并驾齐驱的两大论证之一，但在国内学界却没有引起相应的重视甚至是鲜有提及。依托决策论框架，赌徒论证的旨趣在于论证理性的逐利者“应该选择相信上帝存在”，而不管上帝“事实上”是否存在。赌徒论证所引入的一些前提在细节上有很多可推敲之处，但是直到不久前西方学界一般认为该论证是有效的——如果这个论证的所有前提都是成立的，那么其结论成立。晚近由达夫和亥杰克提出的“混合型策略”改变了这一状况——如果把混合型策略纳入考量的话，可以看出赌徒论证要么是犯了“遗漏可能性”的逻辑错误，要么其所指向的实践价值会被瓦解。围绕混合型策略所进行的一系列饶有趣味的讨论成为晚近西方宗教哲学中的一个小热点。然而本文的分析表明，在该讨论的最近一个回合中，对“不可数无穷多次掷骰子”这个概念的使用是成问题的；贯穿该讨论的一个重要想法，即“根据预见来选择相信上帝存在”，也有进一步推敲的空间。

作者 | 汤志恒，内蒙古大学哲学学院研究员

原题 | 赌徒论证、混合型策略及其问题

原载 |《文史哲》2024年第6期，第 148-163 页

试想我们如何才能说服一个人S使得他/她相信某物X存在？在不对S进行欺骗的情况下，似乎我们至少可以采用两种方式。第一种方式稀松平常：我们可以向S论证说X的确存在，换言之我们可以向S论证说“X存在”，这是一个事实或者真理。第二种方式则有点投机取巧：我们可以向S论证说，如果他/她选择相信X存在的话，那么他/她会使得自己的利益最大化，而如此的话作为理性的并且是追求个人利益最大化的他/她就应该选择相信X存在。如果聚焦于“上帝存在”这个信念，那么以上两种说服方式会分别对应到宗教哲学中以“本体论论证”（the ontological arguments）为代表的一类对“上帝存在”所进行的论证，以及由17世纪法国数学家、物理学家、哲学家布雷兹·帕斯卡（Blaise Pascal）给出的一个旨趣迥异的“赌徒论证”（the Wager）。简单来说，前一类论证的要点在于论证说“上帝存在”这个信念为真，而后一个论证的要点在于论证说选择采纳“上帝存在”这个信念对我们最为有利。

本体论论证非常有名，相关研究著述在国外汗牛充栋，在国内亦小有气象。相比之下，赌徒论证则不怎么有名，在国外是一个小众话题，在国内甚至鲜有提及。笔者猜想这其中的缘由之一或许是在讨论本体论论证时我们纠结的一些核心概念——比如“存在”“属性”“必然性”等——在哲学上相对重要或者说哲学味道相对较为厚重；缘由之二或许是本体论论证的参与讨论者中包括笛卡尔和康德这样的超一流哲学家，而赌徒论证则不然。尽管如此，赌徒论证本身是一个很有趣的论证，而就算其哲学深度不及本体论论证，其牵涉的问题的广度——以下我们将会看到，这些问题包括决策论、宗教学、伦理学、认识论、行动哲学、形而上学乃至数学等领域中的问题——至少是不输于本体论论证。无论如何，对于这样一个饶有趣味而又牵涉极广的经典论证，国内学界目前的重视程度与其重要性极不相称。鉴于此，本文将对赌徒论证进行一个比较细致的介绍，梳理西方学界近年来对这个论证的一个重要研究进展即围绕“混合型策略”（mixed strategies）所进行的讨论。此外，在本文看来，在该讨论的最近一个回合中，相关论述对“不可数无穷多次掷骰子”这个概念的使用是成问题的；贯穿该讨论的一个重要想法，即“根据预见来选择相信上帝存在”，也有进一步推敲的空间。

一、赌徒论证

赌徒论证是在“决策论”框架下对我们为什么应该选择相信上帝存在的一个论证。为理解这个论证，首先让我们用一个例子来说明一下决策论的要点：

面对一个赌局，张三和李四思考他们应该不应该投进行对赌。这个赌局的设定很简单：张三下10块，李四下20块，然后两人猜他们即将投掷的一枚（正常的、没做过手脚的）硬币在落定之后是正面朝上还是反面朝上（假设其中一人猜测一面朝上，另一人就猜另一面朝上，两人并不就此进行争执）。然后投掷这个硬币，看结果如何。猜对的，拿走所有的钱也就是30块；猜错的，损失所下的赌，拿不到任何钱。

面对这个赌局，张三——假定他是理性的并且是追求个人利益最大化的人——应该做何选择呢？就算没接触过任何决策论理论，我们也不难看出这个问题的答案：张三应该选择加入这个赌局跟李四对赌。稍微展开一下，我们对这个问题的思考可用下表加以说明：

这种图表一般被叫做“决策矩阵”（decision matrix）——“加入赌局”和“不加入赌局”那两行是张三可能的两个选择；独立于这两个选择，“猜对”和“猜错”那两列是世界的两个可能状态。通过该表我们可以方便地看出，如果张三选择加入这个赌局的话，那么他的预期收益计算如下：用在他猜对的情况下将得到的收益（30块）和他猜对的概率（显然，不管他猜正面还是反面，这个概率都是0.5）之间的乘积，加上他在猜错的情况下将得到的收益（0块）和他猜错的概率（也是0.5）之间的乘积，然后用这个总和减去他的赌本即10块，最终计算结果为5块。而如果他选择不加入这个赌局的话，那么他的预期收益为0（没输没赢，原来手里的10块还是10块，10-10=0）。这样的话，张三选择加入这个赌局的预期收益（5块）大于他选择不加入这个赌局的预期收益（0块），因此他应该选择加入这个赌局。[李四的情况则不同：在他选择加入这个赌局的情况下他的预期收益是（30×0.5+0×0.5）-20=-5，而这个数值小于在他选择不加入这个赌局的情况下的预期收益也就是0，因此他应该选择不加入这个赌局或者说他应该拒绝参加这个赌局。]

上面这个例子提示出的决策论的要点在于，一个行为人的预期收益由两方面因素决定：行为人做出了什么样的选择；独立于这些选择，世界（至少是就与行为人收益相关的那部分而言）处于一个什么样的状态。此外，严格来说这个例子是一个风险决策（decisions under risk）的例子：在该例子中，虽然世界的状态跟决策者张三的选择无关，但是对应到这些状态张三总是有个对它们在多大程度上可能为真的“信任度”——按照“主观概率”的理解，这也就是说这些状态为真总是有着取值范围在0和1之间（包括0和1）的某个概率。这个概率会被用来对张三的预期收益进行计算。

明确了决策论的相关要点，现在让我们来看帕斯卡赌徒论证中的决策矩阵：

跟之前的赌局不同，现在我们这个赌局所关的事项是“上帝是否存在”。但是跟之前一样，我们在这个赌局中的预期收益仍然是取决于我们做出了什么样的选择，以及相关的世界状态如何。就选择而言，如上表的两行，我们现在面临的两个选择分别是“相信上帝存在”（以下为行文方便计，有时候会把这个选择写作“B”）和“相信上帝不存在”（写作“～B”）;就世界状态而言，如上表中间的两列，相关的两个世界状态分别是“上帝存在”和“上帝不存在”。如此的话，在我们选择B而上帝存在的概率为p情况下，我们的预期收益为p·∞;在我们选择B而相应的上帝不存在的概率为1-p的情况下，我们的预期收益为（1-p）x。总的来说，在我们选择B也就是选择相信上帝存在的情况下——不管上帝事实上是否存在——我们的预期收益为p·∞+（1-p）x，而这个表达式的值是无穷大（由于其中的∞）。类似地，在我们选择～B也就是选择相信上帝不存在的情况下——不管上帝事实上是否存在——我们的预期收益为p·y+（1-p）z，而无论这个表达式的具体值为何，总之是比无穷大要小（详见后文的解释）。那么由于p·∞+（1-p）x大于p·y+（1-p）z，我们就应该选择B，也就是选择相信上帝存在。

解释一下上面用到的各个参数以及相应表达式的具体含义：

p：上帝存在的概率（相应地，上帝不存在的概率为1-p）。如前所述，在“主观概率”的框架下，说“上帝存在的概率为p”也就是说我们对“上帝存在”这个事态为真的信任度为p。显然，就上帝存在的概率而言，一般来说其取值范围是（0，1）而不是[0，1]——换言之，我们一般并不完全确定上帝不存在（也就是认为上帝“不可能”存在，即p取值为0），并且我们一般也并不完全确定上帝存在（也就是认为上帝“必然”存在，即p取值为1）。

∞：在我们选择相信上帝存在而上帝又的确存在的情况下我们得到的收益，即无穷大的收益。之所以收益无穷大，乃是因为按照我们一般理解的基督教教义，上帝会犒赏他的信徒，使得后者在审判日到来之时进入天堂永享福利。

x：在我们选择相信上帝存在但上帝实际上并不存在的情况下我们得到的收益。这个值可能是正的（比如就算上帝不存在，我们还是经由相信上帝存在而获得了一些心灵上的慰藉等等），也可能是负的（比如我们损失了去教堂参加礼拜的时间和捐献的财物等等，而这些损失大于我们获得的慰藉等等）。

y：在我们选择相信上帝不存在但上帝实际上却存在的情况下我们得到的收益。这个值很可能是负的，比如是上帝对非信徒的惩罚也即苦难。

z：在我们选择相信上帝不存在而上帝的确不存在的情况下我们得到的收益。这个值多半是正的，比如是我们所节省下的花在去教堂上的时间和财物，以及还有把这些时间和财物用于他处而赢得的收益。

需要强调的是，无论x、y、z的具体取值如何，要点在于它们总是“有限的”。因此，p·y+（1-p）z这个在我们选择相信上帝不存在的情况下的预期收益，其值无论如何只是有限的大（甚至可能是负的，因为y可能是负的）;作为比照，p·∞+（1-p）x这个在我们选择相信上帝存在的情况下的预期收益，由于其中的∞，其值为正无穷大。那么显然，如果出于收益最大化的考虑来进行选择，理性的我们就应该选择相信上帝存在以期获得最大收益。

二、基本的澄清和辩护

关于赌徒论证可讨论的问题点很多，但其中多数跟本文后文的主旨无关。在这一节，我们将简单梳理并回应一下初识赌徒论证的读者可能会提出的质疑，至少做到使这些质疑不至于让人觉得难以释怀，从而为后文将要展开的另有针对性的深入讨论做一铺垫。

首先要澄清几个框架性问题。一个问题我们之前已经提示过但这里要再次强调一下：与一般的对“上帝存在”所进行的论证不同，赌徒论证的旨趣在于论证——不管上帝事实上存在不存在——我们应该选择相信上帝存在。换句话说，赌徒论证并不试图论证“上帝存在”是个真理，而只不过是要论证我们应该皈依。乍看之下，这种不谈真理只顾皈依的论证好像很肤浅，但是须知“上帝存在”这个真理——如果它是个真理的话——的实践价值（practical value）恐怕也无非就是认识到这个真理会使得我们皈依。因此就算赌徒论证只是说服了我们进行皈依，那也就已经收获了众多宗教哲学家处心积虑尝试构造出的种种“上帝存在”论证所要达成的实践价值。另外，迄今为止史上对“上帝存在”所进行的种种论证——无论是本体论论证还是阿奎纳的“五路”等等——都各有弊病，如果赌徒论证另辟蹊径一举抛却这些弊病而说服了非信徒，这无论如何算是一个推进。

但是与此相关，另一个框架性问题是有人可能会觉得赌徒论证是一个很“庸俗的”论证：真正的信徒难道不是应该经由把握到了“上帝存在”这个真理才皈依吗？被赌徒论证说服而皈依的——也就是出于对利益的贪婪才皈依的——多半不是“真正的”皈依；而且就算是，那种皈依也过于廉价，为真正的信徒所不齿。另外，更重要的是，全知全能的上帝自己显然也不会被这种廉价皈依的把戏所戏弄，而考虑到这一点的话，实际上赌徒论证就并不成立——前面介绍的赌徒论证的要件之一是上帝对选择相信他存在的人会赐予无穷大的收益，但是很可以想见上帝对出于逐利而称信之人不仅不会赐福，反而会施以惩罚才是。而如果剔除掉赌徒论证所引入的那个被上帝赐予的无穷大收益也就是∞的话，显然这个论证就站不住脚了。

关于“庸俗性”这个问题，有两点需要说明。第一，我们一直在使用“收益”或者“福利”这些经济学中常常用到的通常用来指代物质利益的说法，这主要是为了解说的方便（毕竟，当代读者多少都接触过一点经济学，对所谓“经济人假设”所设定的理性逐利主体的概念耳熟能详）。但是须知赌徒论证中用到的“收益”（gain）以及“福利”（good）等说法并非必须被解读为物质利益——实际上，它们甚至不必被解读为是指代任何利益，物质的或者是精神上的（愉悦等等）。按照一般理解的基督教教义，上帝在审判日回报给信徒的永恒福祉（bliss）对后者来说不仅是一种利好，更是一种救赎（salvation）。而对救赎的渴望或者说贪婪，这很难说是一个道德上的缺陷——实际上，如斯莱森格所评论的那样，这种贪婪堪称“高贵”。对这种贪婪，上帝多半不仅不会进行惩罚，反而会赞赏有加才是。第二点，就算赌徒论证只是对纯粹的逐利之人才有说服力，这个功用也不可小觑。毕竟，对于纯粹的逐利之人，或者说对于在面临是否要皈依的选择问题的时候总是想到“皈依了对我有什么好处呢”这类问题的人，赌徒论证给出了恰如其分的回答：你应该皈依，因为那样才会带给你最大的好处！

最后要简单澄清的一个框架性问题是所谓的“多个上帝”问题（the many Gods problem）。 在我们之前给出的赌徒论证所依据的决策矩阵中，相关的两个世界状态被列示为“上帝存在”和“上帝不存在”那两列。但是有人可能会觉得仅仅有那两列是不够的：上帝是基督教的神，其他宗教的神的存在以及不存在——至少是那些被认为有能力赋予其信徒永恒福祉的神——也应该纳入到决策矩阵中各自成列才是。如此的话，按照赌徒论证说服人选择相信基督教上帝存在的同样理由，选择相信那些其他的神的存在也同样可以给人带来无穷大的预期收益，因此结论就应该是我们可以选择相信任何一个（被认为是可以提供永恒福祉的）神的存在，而并非一定要去选择相信基督教上帝存在。对于这个“多个上帝”问题，笔者的简单评论是：赌徒论证即使只是成功地论证了应该相信“某个”神，这本身就已经很重要。换言之，如果赌徒论证成功论证了被诸种宗教的诸种神所分有的“一般的”神性值得向往、值得奉献，这本身就已经很重要。针对在赌徒论证这里分不出高下的各种神，如何从中确定具体的皈依对象，那是另一个进一步的问题（而且未必就是个有哲学趣味的问题，而很可能是跟风俗以及个人偏好相关）。

除了以上几个框架性问题，对赌徒论证的质疑还可以聚焦于这个论证所引入的一些参数的取值。我们之前说p作为上帝存在的概率（即我们对“上帝存在”这个事态为真的信任度），其限定性之一在于其取值不是0（换言之“上帝存在”不被认为是不可能）。这个限定对于赌徒论证是必要的：如果p的取值为0，那么p·∞+（1-p）x这个在我们选择相信上帝存在的情况下的预期收益的值就不再是无穷大，而只不过是一个有限的x——这是因为用0乘以包括∞在内的任何值，其结果都为0。而p·y+（1-p）z这个在我们选择相信上帝不存在的情况下的预期收益，其值同样为一个有限的z。如此的话，我们选择相信上帝存在的预期收益（即x），就不一定比选择相信上帝不存在的预期收益（即z）更大。（x或许可以被论证为比z更大，但那是另一个论题，而且好像也是很难得出什么确定性结论的论题。）

现在的问题是，有些人可能会觉得p的取值就是0，换言之，他们对“上帝存在”为真的概率赋值就是0。毕竟，坚定的无神论者，很可能就是被一些反对上帝存在的论证所“彻底”说服，从而“坚信”上帝就是不存在的。对于这些人，“上帝存在”为真的概率好像无非就是0而已，那么对他们来说赌徒论证是不是就失效了呢？未必。这其中的关键点在于，任何理性人似乎都不会也不应该认为他们“彻底”（把这个叫做“彻底1”）认同的论证“彻底”（把这个叫做“彻底2”）就是无可置疑的。一个人很可以彻底1信任一些事情，但并不彻底2信任自己彻底1信任那些事情。如果这个在“彻底1”和“彻底2”（或者还有更高阶的“彻底3”之类）之间的区分是成立的，那么理性人在高阶信任中保留的不彻底性总是会叠加至他/她的一阶信任的彻底性。换个说法，一个理性人为其“坚信上帝不存在”所保留的可错的空间或者说为假的概率——别管这个空间或者概率有多小——总是会叠加至其一阶信念即“上帝不存在”上面，从而使得后者严格来说或实际上来说并不被认为是百分百为真。

另一个或许有疑问的参数是∞，即在我们选择相信上帝存在而上帝又的确存在的情况下我们会得到的无穷大收益。有人可能会质疑所谓“无穷大收益”——至少对有限的存在者，典型的比如人而言——乃是一个成问题的概念：一个人只不过是拥有一个有限的躯体有限的神经活动，这样的存在者在什么意义上能够接受“无穷大”的收益呢？就算我们周身上下都被舒爽无比地按摩，口内腹中都充满了甘美无比的食物和饮料，脑海中呈现的都是良辰美景，这也很难说就是“无穷大”的收益吧？对于这个问题，须知上帝赐予的不仅是全方位的享受，而且是“永恒的”享受——如果我们在天堂之中“永享”以上列举的那些按摩等等，那似乎也就是被给予了无穷大的收益。与此相关，有人觉得“无穷大收益”这个概念难以理解的理由可能是说任何“给定的”收益都只能是有穷大，但这个理解显然跟说一个“未定的”——在无穷延续的时间中永远增长的——收益可以被认为是无穷大，并无冲突。换言之，将无穷大收益说成是一种“潜无穷”，这似乎并无不妥——我们通常认为时间的延续是无穷的典范，而“无穷大收益”直接就依附于时间的延续而成为无穷的。

但是反过来考虑，有人可能会觉得对于赌徒论证而言，引入“无穷大的收益”其实是个不必要的负担。在我们选择相信上帝存在的情况下，我们的预期收益是p·∞+（1-p）x，而就算把其中的∞替换为一个虽然不是无穷大但是“很大很大的”收益（记做“U”），p·U+（1-p）x这个表达式的值也就足以大于p·y+（1-p）z这个在我们选择相信上帝不存在的情况下的预期收益，从而就足以促使我们去选择相信上帝存在。但这里的问题显然是我们对p的赋值是不是会“很小很小”。如果是的话，很小很小的p乘以很大很大的U，其结果并不能使得p·U+（1-p）x比p·y+（1-p）z明显为大。实际上，对于坚定的无神论者来说，p的值的确就会是很小很小。要说服这类人的话，仅仅引入“很大很大的收益”而不是“无穷大的收益”，这并不足以达成赌徒论证的结论。

最后看一下y，即在我们选择相信上帝不存在而上帝实际上却存在的情况下我们得到的收益。我们之前说y的值很可能是负的，因为上帝多半会对非信徒施以惩罚。然而，考虑到上帝的“宽容”，或许他并不会惩罚非信徒，而是会对他们一视同仁，在审判日到来的时候给予他们与信徒们一般无二的犒赏也就是无穷大的收益？如果是那样——如果y的取值也是∞——那么p·y+（1-p）z这个在我们选择相信上帝不存在的情况下的预期收益也就成了无穷大，从而与p·∞+（1-p）x这个在我们选择相信上帝存在的情况下的预期收益不相上下。而如此的话，我们就不能得出结论说我们应该选择相信上帝存在。在这个问题上，我们须知上帝不仅有宽容的美德，更有“公正”的美德。对信徒和非信徒都一视同仁进行犒赏，这显然对信徒是不公的，因此非上帝所为。有人可能会因此质疑上帝的宽容美德和公正美德之间是否会有冲突，是否上帝无法两全其美——如果是的话恐怕就会有损于基督教所一般理解的上帝的全能至善。对于这个进一步的问题，笔者的简单回应是上帝的“宽容”可以被合情合理地理解为一种仅仅适用于对尚有机会改过自新的人的态度，或者说是一种对审判日到来之前能够有所作为的人的态度——审判日到来之时一切尘埃落定，上帝只是进行公正的奖赏或者惩罚，而不再有宽容可言。

三、围绕“混合型策略”的论战

在帕斯卡提出赌徒论证之后的三百多年里，学界一般认为该论证是有效的——换言之，如果我们接受理性经济人假设、决策论的基本思想，以及上一节我们简单澄清的那些参数的取值范围，那么赌徒论证的结论就是成立的，即我们应该选择相信上帝存在。然而，这个情况在最近几十年发生了变化：在1986年安托尼·达夫（Antony Duff）发表的一篇短文中，以及2003年阿兰·亥杰克（Alan Hájek）进一步发表的一篇长文中，帕斯卡的赌徒论证被认为是犯了“遗漏可能性”（false alternative）的逻辑错误，因此并非有效。这里所谓被遗漏的可能性，是指一种被叫做“混合型策略”（mixed strategies）的选项。在本节中，我们将介绍混合型策略以及学界近年来围绕它展开的一系列有趣争论。

（一）达夫和亥杰克的混合型策略

要理解什么是混合型策略，首先让我们回顾一下之前在介绍赌徒论证时所引入的决策矩阵：

在这个矩阵中，“相信上帝存在”（B）和“相信上帝不存在”（～B）是我们面临的两个选项。如之前所说，赌徒论证的要点在于指出如果我们选择B，那么我们的预期收益是无穷大；反之如果我们选择～B，那么我们的预期收益只是有限大；因此两相权衡，我们应该选择B也就是选择相信上帝存在。然而，现在让我们考虑另一个选项：

这个选项——以下写作“〈掷骰子〉”——的执行方式是在掷一个（正常的、没做过手脚的）六面骰子的情况下，根据掷出的点数进行进一步选择：如果掷出“1点”（写作“#1”），那么我们选择B，即选择相信上帝存在；如果掷出其他的点数，那么我们选择～B，即选择相信上帝不存在。跟B以及～B这样的直接选项相比，〈掷骰子〉因此是一种视情况——看一定的条件是否达成——而进一步进行选择的“混合型策略”。有意思的是，按照之前计算直接选项的预期收益时所依据的同样原理，现在我们对〈掷骰子〉的预期收益进行计算，得到的结果为

——由于其中的∞，该表达式的值也是∞。如此的话，除了选择B可以带给我们无穷大的预期收益，其实选择〈掷骰子〉也可以带给我们无穷大的预期收益；跟〈掷骰子〉相比，B并不具有预期收益上的优势，因此后者就不再是我们的当然选择。

要意的是，〈掷骰子〉只不过是我们用来展示混合型策略旨趣的一个例子而已。除了〈掷骰子〉，还有如下一些任意的同样都能带来无穷大预期收益而且实际上数不尽的混合型策略：

〈彩票〉：如果我中了六合彩，那么我就选择相信上帝存在，否则的话我就选择相信上帝不存在；

〈陨石〉：如果我家门口落下一颗陨石，那么我就选择相信上帝存在，否则的话我就选择相信上帝不存在；

〈陨石在手〉：如果有颗从天而降的陨石正好落在我的手里，那么我就选择相信上帝存在，否则的话我就选择相信上帝不存在；

……

这些混合型策略的一般模式是以一个小概率事件的发生作为选择B的条件，并且相应地以这个事件的不发生作为选择～B的条件。读者自己也不难计算出，这些混合型策略的预期收益跟〈掷骰子〉以及B一样都是无穷大。然而问题在于，如果我们选用混合型策略的话，那么“实际上”我们选择B也就是选择相信上帝存在的概率就会很低，因为促使我们对B进行选择的条件（也就是相应的小概率事件），其达成（或者发生）的概率很低。我们之前强调过，赌徒论证的核心旨趣在于其“实践价值”即说服人们去选择相信上帝存在或者说进行皈依。但是选用混合型策略意味着这种实践价值的丧失：一个在很低的——原则上可以是任意低的——概率上才会达成的皈依，跟“没有皈依”实际上并没有什么分别。（如果我说陨石落在我手里我才皈依，那意思分明就是说我不会皈依！）因此，为达到赌徒论证所指向的实践价值计，我们不应选用混合型策略。但是赌徒论证所依附的决策论并没有给出我们拒斥混合型策略的理由——从对预期收益的计算来看，选用混合型策略所带来的预期收益并不低于直接选用B的所带来的预期收益（两者都是无穷大）。这样的话，按照决策论，如果拒斥混合型策略，那么赌徒论证就是犯了“遗漏可能性”的逻辑错误；如果不拒斥混合型策略而是对它们加以选用，那么赌徒论证所指向的实践价值就会成为枉然。因此无论如何，混合型策略对赌徒论证的冲击似乎都是颠覆性的。

（二）蒙顿的反驳

在更为晚近的一篇文章中，布莱德利·蒙顿（Bradley Monton）认为混合型策略实际上并没有威胁到赌徒论证：

混合型策略对赌徒论证的反驳之所以是不成立的，其要点在于无神论者或者不可知论者有“不止一次”的机会去执行混合型策略。……[假定在面临是否相信上帝存在的这个抉择时候你决定执行〈掷骰子〉那个策略。]在掷骰子之前，你的这个决定有无穷大的预期收益。但是在掷完骰子并且#1并没有出现之后，你的预期收益就发生了“变化”——它变得不再是无穷大……你因此重新回到了起点……而如此的话理性会要求你“再次”执行〈掷骰子〉。如果再一次没有掷出#1，那你又回到了起点，那么理性会要求你“再次”执行〈掷骰子〉。如此往复，直至你掷出#1，并且从而选择相信上帝存在。

更确切地说，在首次执行〈掷骰子〉但是并没有掷出#1的情况下，我们的预期收益会被更新成为一个有限的值——按照该策略，在没有掷出#1的情况下我们就选择～B，而如我们早先计算过的，选择～B带给我们的预期收益p·y+（1-p）z是一个有限的值。然而，在这种“新”情况下，一个“新的”选项，即“再一次”执行〈掷骰子〉，其预期收益为无穷大，因此就应当被执行。如此的话，并且如果有必要的话，我们就应该不停地重复执行〈掷骰子〉，直至掷出#1，从而选择相信上帝存在。

要意的是，我们引入的〈掷骰子〉这个混合型策略，其设定是掷一个平常的六面骰子。但是要瓦解赌徒论证的实践价值（即说服人们去选择相信上帝存在），一个引入了远为更多面数的骰子的混合型策略才更具说服力——如果我们掷的骰子是1000面的，那么我们就只有0.1%的概率去选择相信上帝存在，而如果我们掷的骰子是一百万面的，那么我们就只有0.0001%的概率去选择相信上帝存在，等等。如果骰子的面数非常之多，那么按照蒙顿的思路我们就很可能会非常多次地反复去执行相应的混合型策略，也就是非常多次地反复去掷那个面数非常多的骰子。但是无论如何，只要一个〈掷骰子〉类型的混合型策略所引入的骰子面数是“有限多”，蒙顿的思路似乎就是成立的。这是因为，不停地掷一个有限多面数的骰子，“总会”有一次掷出#1——换句话说，如果不停地掷一个有限多面数的骰子，那么“至少有一次掷出#1”的概率为1。明确了这一点，并且为了更一般性地说明问题，我们可以认为蒙顿的想法其实是引入了一个新的混合型策略，即〈接着掷〉：

显然，〈接着掷〉是对〈掷骰子〉的反复运用。考虑到理性的我们应该在时间序列中永不停歇地追求直至获得无穷大预期收益，蒙顿的意思是我们应该选用的不仅仅是〈掷骰子〉——对该策略的使用经常停歇于掷出#1之外的点数，并且因而停歇于我们选择～B因而只是获得有限预期收益的状况——而是应该选用〈接着掷〉这种不获得无穷大预期收益不罢手的混合型策略。而且，如果选用〈接着掷〉的话，我们就“一定”会罢手于获得无穷大预期收益——如前所述，这是因为不停地掷一个有限面数的骰子，其中至少有一次掷出#1的概率为1。这里所谓“罢手”，按照〈接着掷〉这个策略的规则，也就是最终选择了B或者说选择了相信上帝存在。如此的话，选用〈接着掷〉这个更为合理的混合型策略（更为合理，因为它考虑到了我们的预期收益在时间序列中的变化），赌徒论证所要达成的实践价值（即说服人们去选择相信上帝存在）就得以保全。

对于蒙顿建议选用的〈接着掷〉这种混合型策略，有些读者可能早已产生这个疑问：如果我们投掷的骰子的面数很大——有限的一个数目但是很大很大——那么我们如何确保在有生之年一定掷出#1呢？理论上没问题，“至少掷出一次#1”的概率的确为1，但这只是数学；谈实际操作的话，显然我们还要考虑到生理学、物理学上的种种限制，而在这些限制下，我们很可能穷尽一生也无法“实际上”掷出#1。我们一直在强调赌徒论证的实践价值也就是说服人们实际上去选择相信上帝存在，而如果选用〈接着掷〉的话，这个实践价值的达成要以“实际上”掷出#1为条件。既然选用〈接着掷〉的时候由于生理学、物理学上的限制我们无法确保“实际上”掷出#1，那么蒙顿的建议岂不终究是枉然？对于这个问题，蒙顿的想法如下：

可能在实际操作中[你做不到如〈接着掷〉所要求的那样去掷一个天文数字面数的骰子并且实际掷出#1]……但是你可以“预见”这个掷骰子的过程会停止于何种结果，“如果”你不停地掷的话。因此，具备常识感的你并不会一直坐在那里不停地掷骰子，而是会直接接受这个掷骰子的过程“最终会”达成的结果[即掷出#1]，并且从而[按照〈接着掷〉这个策略的规则]选择相信上帝存在。

蒙顿的这个想法在我们后文的反思性讨论中会成为一个关点。让我们通过一个例子进一步澄清一下他这个想法的旨趣：

老孙是个与人为善的人。一个邪恶科学家绑架了老孙，并且逼着老孙说出自己单位里最丑的同事是谁。老孙基于给定的性格，显然不愿意说（虽然他脑子里有个人选）。但是邪恶科学家制作了一台机器座椅，其功能如下：一旦启动，座椅上的扬声器就会向坐在上面的人发问“谁是你们单位最丑的人”;如果得到一个靠谱的回答（这台座椅里有个数据库存储了老孙的同事名单），就对坐在上面的人进行按摩；如果得不到一个靠谱的回答，就向坐在上面的人扎针（挺疼，但不致命），然后自动重新发问并重复以上步骤。现在，老孙被绑坐在了这台座椅上，邪恶科学家把手伸向了启动按钮……

我们感兴趣的问题是：老孙会等着这台机器把他扎得体无完肤之后再透露谁是他们单位最丑的人吗？如果他是理性的并且是趋利避害的，恐怕不会。（让我们姑且假设：把透露自己对同事容貌的判断看得比自己的皮肉之苦更不用说反复的皮肉之苦更重要，这是非理性的。）这其中的道理似乎无非在于，老孙会“预见”到自己将无法承受反复被扎针的痛苦而给出答案；换言之，他知道“如果”他被反复扎针到一定次数的话，他“最终会”受不了而给出答案。而如此的话，他不如在一开始就直接给出答案以免受任何痛苦。

同样的道理，蒙顿的意思是说理性且趋利避害的我们在选用〈接着掷〉这个策略的时候不必实际上去掷一个天文数字面数的骰子直至掷出#1——这个过程如果不是痛苦的，至少是费劲的，而且关键是由于生理学、物理学上的限制我们未必能做得到。但是我们可以“预见”到#1“最终会”被掷出来，“如果”我们不停地掷的话。这个预见就足以促使我们在一开始就直接做出相信上帝存在的选择。

（三）罗伯森的再反驳以及伊斯瓦兰和蒙顿的进一步回应

蒙顿提出的〈接着掷〉这个混合型策略，其要点之一在于说如果我们不停地掷一个有限多面的骰子的话，最终我们一定会掷出#1，也就是说掷出#1的概率为1。而就算如蒙顿所说我们不必实际上去实施这个很可能操作起来很繁复的策略并且实际上去掷出#1，至少我们可以预见按照这个策略去操作的结果会是掷出#1。但是斯蒂文·罗伯森（Steven Robertson）提出一个更为精巧的混合型策略：该策略的预期收益是无穷大，但有意思的是，它并不能保证如果我们不停地掷有限多面的骰子，我们就一定会掷出#1——无论在实际上还是在预见中，都不能保证。而在前述所有混合型策略规则前提下，这就意味着我们不一定要去选择相信上帝存在。

罗伯森提出的新混合型策略的机巧在于该策略要求每次我们掷的骰子面数“不一样”。举个简单的例子：第1次掷，我们掷一个4面骰子（当然了4面的东西我们一般不把它叫做“骰子”，不过这只是个语词问题）——如果掷出#1，那么我们选择相信上帝存在，否则接着掷第2次；第2次掷，我们掷一个8面骰子——如果掷出#1，那么我们选择相信上帝存在，否则接着掷第3次；第3次，我们掷一个16面骰子……如此等等接续。容易看出，按照以上掷法，我们掷出#1的概率并不是1，而是等值于1/4+1/8+1/16……，其极限为1/2。如此的话，采用该策略的话我们最多只有1/2的概率最终会选择相信上帝存在；理性的我们显然也就不会预见#1最终一定会被掷出，因此也就不会在一开始就直接选择相信上帝存在。以上这个不妨被称为“〈掷不出〉”的混合型策略的形式为：

不难看出，如果对该策略稍做调整，我们还可以构造出数不尽的预期收益无穷大的类似策略可供选用，使得掷出#1的概率任意低。比如，如果把上表中对骰子面数的规定改为为8n+1，那么我们掷出#1的概率为∑n=1∞18n+1≈0.018∑n=1∞18n+1≈0.018;如果改为2n+10，那么我们掷出#1的概率为∑n=1∞12n+10≈0.00098∑n=1∞12n+10≈0.00098，等等。按照决策论，所有这些〈掷不出〉类型的混合型策略和〈接着掷〉以及B都同样可以带来无穷大的预期收益，因此我们没有理由采用后两者而拒斥前者。但是如果采用〈掷不出〉类型的话，我们将无法保证——无论在实际上还是仅仅在预见中——最终会掷出#1，从而也就无法保证我们会去选择相信上帝存在以达成赌徒论证所指向的实践价值。

面对罗伯森的反驳，科尼·伊斯瓦兰（Kenny Easwaran）联合蒙顿给出的进一步回应较为简单：

在存在不可数无穷多的时间点的情况下，罗伯森策略[即〈掷不出〉]中的掷骰子的过程可以在任意短的时间内完成。而在完成了该过程之后，我们下一步应该做什么呢？……我们应该接着掷。……如果[在不可数无穷多的时间点上]有不可数无穷多次的掷骰子，那么只是可数无穷多的n次掷骰子就一定会发生无穷多数次，因此[掷出#1的概率为1]我们最终会选择相信上帝存在。

罗伯森提出的那种〈掷不出〉策略之所以貌似成立，是因为我们想当然地认为在时间中我们只能掷可数无穷多次的（countably many）骰子，也即掷n次骰子。但是以上伊斯瓦兰和蒙顿回应的要点则在于指出时间是一个由不可数无穷多的（uncountably many）时间点构成的系列——换言之，时间是连续的（continuous），也就是说时间系列具有实数系列的结构。如果时间是连续的，那么“n次掷骰子”这样的事件系列就可以发生无穷多次，因为在连续时间系列中的不可数无穷多的时间点上可以发生不可数无穷多次的掷骰子，而不可数无穷多次是比可数无穷多次（即n次）更大量级的无穷多次。这样的话，按照蒙顿原初提出的〈接着掷〉的同样原理，“n次掷骰子”这样的事件系列——不管其掷出#1的概率是多小，只要是大于0——在不可数无穷多时间点构成的连续时间系列之中发生无穷多次之后就一定会——概率为1地——掷出#1，从而我们应该据此选择相信上帝存在。

回顾整理一下本节的线索：达夫和亥杰克指出存在类似〈掷骰子〉这样一些只在很低的概率上才会掷出#1——从而据此我们只在很低的概率上才会选择相信上帝存在——的混合型策略；然而蒙顿指出类似〈接着掷〉这样一些最终会——概率为1地——掷出#1的混合型策略才更为合理，更应当被选用；罗伯森反驳说，就算顺承蒙顿〈接着掷〉的思路，总还是有类似〈掷不出〉这样一些无法保证最终会掷出#1的混合型策略；面对罗伯森的反驳，伊斯瓦兰和蒙顿回应说，在由不可数无穷多时间点构成的连续时间系列中，类似〈掷不出〉那种只是进行可数无穷多次掷骰子的混合型策略可以被反复执行无穷多次，并且因此最终还是会掷出#1。

四、问题与反思

上一节我们介绍了晚近西方学界围绕“混合型策略”展开的一系列辩论。本节将对该系列辩论进行一些反思性的考察。

（一）“不可数无穷多数次的掷骰子”

首先有一个较小的问题：笔者认为在最后一个回合的辩论中，伊斯瓦兰和蒙顿对罗伯森的回应是不成立的。回顾一下该回应的要点：罗伯森的〈掷不出〉策略只是考虑到“可数无穷多次的掷骰子”，但是时间系列是一个由不可数无穷多的时间点所构成的系列，而在不可数无穷多的时间点上可以有“不可数无穷多次的掷骰子”;由于“不可数无穷多次的掷骰子”是比“可数无穷多次的掷骰子”更大量级的无穷多次，后者所不能确保掷出的#1在前者却可以确保掷出。笔者认为这个回应很可疑，因为它所引入的关键概念——“不可数无穷多次的掷骰子”——在笔者看来是一个很可疑的概念。我们当然不必挑战伊斯瓦兰和蒙顿所说的时间是连续的观点，也就是说时间系列是一个由不可数无穷多的时间点所构成的系列。但不可数无穷多的时间点上是否相应地可以有“不可数无穷多次的掷骰子”，这却很可以推敲。所有的事件都发生在时间之中，这没问题；然而，是不是所有发生在时间之中的事件就因此都具有时间自身的连续性结构，这却很成问题。

对于解析我们手头上的问题来说，一个很有帮助的切入点是引入由晚期日常语言学派哲学家泽诺·万德勒（Zeno Vendler）在“活动性事件”（activity）和“达成性事件”（accomplishment）之间所做的区分。活动性事件指的是比如“跑步”“转动”之类的事件：这类事件的特点在于它们完全是由一些与它们自身同质的（homogeneous）“子事件”——比如瞬间的跑步——所构成（瞬间的跑步也是跑步），并且它们也没有什么内在的——也就是一个事件之为这类事件所必须满足的——“终结点”（跑步并不必须终结于某个特定的结果）。达成性事件比如“跑一公里”或者“转两圈”则不同：构成这类事件的子事件——比如跑一公里过程中的某个瞬间的跑步——跟这些事件并不同质（瞬间的跑步并不是跑一公里），并且这些事件有内在的终结点（跑一公里必须终结于一公里路程后的终点）。不难看出，就与时间的连续性结构的贴合性来讲，活动性事件具有这种贴合性：一段跑步占用一段时间，而构成“该跑步”的所有“瞬间的跑步”之间的关系，贴合到构成“该段时间”的所有“时间点”（也即瞬间）之间的关系，即连续性关系——更确切地说，“在任何两个瞬间的跑步之间，总是有另外一个瞬间的跑步”这种关系，贴合“在任何两个时间点之间，总是有另外一个时间点”这种关系。给定这种贴合性，如果在一段时间内我们不停地跑步，那么在构成该段时间的不可数无穷多的时间点上我们都是在跑步——因为在构成这段时间的不可数无穷多的时间点上的“瞬间的跑步”也是跑步。与此不同，达成性事件则没有这种贴合性：如果在一段时间内我们不停地跑一公里（也就是不停歇地进行很多次的一公里跑），那么情况就并非是在构成该段时间的不可数无穷多的时间点上我们也都在跑一公里，因为在构成这段时间的不可数无穷多的时间点上的“瞬间的跑步”并不是跑一公里。

基于活动性事件和达成性事件之间的区分，不难看出“掷骰子”是达成性事件，不是活动性事件：构成一次“掷骰子”的子事件（比如我的手开始投掷时的一个动作片段即“开始掷骰子”），其本身并不是掷骰子，并且显然“掷骰子”有个内在的终结点，即掷出骰子。如此的话，作为达成性事件的“掷骰子”就并不贴合时间的连续性结构：如果在一段时间内我们不停地掷骰子，那么情况并非是在构成该段时间的不可数无穷多的时间点上我们也都是在掷骰子——因为在构成这段时间的不可数无穷多的时间点上的比如“开始掷骰子”（或者别的什么更细微的，严格来说是发生在瞬间的事件）并不是掷骰子。伊斯瓦兰和蒙顿认为在由不可数无穷多的时间点构成的连续时间系列中我们相应地可以有“不可数无穷多次的掷骰子”，也就是说在不可数无穷多的时间点上我们可以都是在掷骰子。但是现在我们可以看出，他们是把“掷骰子”这样的达成性事件误当作了活动性事件，而对于“掷骰子”这样的达成性事件来说，“不可数无穷多次”这种只适用于活动性事件的说法是不成立的。

以上结论还可以换个切入点进行更为简便的论证。在对罗伯森的回应中，伊斯瓦兰和蒙顿实际上并不反对罗伯森提出的〈掷不出〉策略本身——他们只是认为〈掷不出〉可以被反复使用直至掷出#1。但是须知〈掷不出〉的一个重要的规定性在于掷骰子的次数和每次掷的骰子的面数之间有“一一对应”关系：按照该策略，在第n次掷骰子，我们掷2n+1面数的骰子。如此的话，如果存在伊斯瓦兰和蒙顿所谓“不可数无穷多次的掷骰子”，那么相应地就会有“不可数无穷多面数的骰子”。但是“不可数无穷多面数的骰子”明显是个无意义的说法——任何骰子之为骰子，都要具有可数的面数才行。这里的机巧似乎在于，我们一开始之所以比较容易同情伊斯瓦兰和蒙顿所谓“不可数无穷多次的掷骰子”，是因为我们比较容易被误导认为在时间系列中发生的掷骰子系列可以贴合到时间的连续性结构上（而经过之前较为细致的分析我们最终发现那是虚妄）;但是在骰子的面数这种跟时间结构无关的事项上我们不会受到类似误导。因此，如果我们明确了〈掷不出〉策略下掷骰子的次数和骰子面数之间的一一对应关系，返回来我们就不难看出所谓“不可数无穷多次的掷骰子”实际上是成问题的概念。

对于本节迄今为止的讨论，有人可能会觉得我们对伊斯瓦兰和蒙顿缺乏善意——他们明确说不要把有关掷骰子的物理限制（physical limitations）过于当真，而他们的讨论是在一定的“理想化”（idealization）背景下才成立的。我们之前也屡次强调过，蒙顿认为我们完全没必要“实际上”去掷任何骰子（很多时候这在物理上是很不便的甚至是不可能的），而只是要思考一下这个掷骰子的过程从而合理预见这个过程会达成一个什么样的结果，然后依照那个结果进行选择便是。另外毕竟，罗伯森自己提出的〈掷不出〉策略也需要一定的理想化才能成立——显然，当n很大的时候，掷一个2n+1面数的骰子是很不现实的。如果纳入理想化的考虑，那么我们之前对“不可数无穷多次的掷骰子”的批驳好像就无足轻重：就算实际上当我们不停掷骰子的时候，在其间不可数无穷多时间点上并不是在掷骰子，但仍可以把每一次掷骰子“理想化为”就是在瞬间——也就是在单一时间点上——完成的，而如此的话，对应不可数无穷多的时间点就可以有“不可数无穷多次的掷骰子”。

帕斯卡“赌徒论证”vs“混合型策略”挑战 | 汤志恒

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