布拉格天文钟的数学原理

作者：M.Krizek，A.Solcova，L.Somer

来源：数立方(mathcubic.org)，原载于《数学文化》2010年第一卷第二期

图1. 布拉格旧城区中心地图

欢迎来到捷克共和国的首都——布拉格。这个中欧城市不但拥有“千塔之城”的美誉，而且更被联合国教科文组织列入世界文化遗产。不少举世闻名的数学家、物理学家和天文学家都在这片土地上度过光辉的岁月，留下许许多多永不磨灭的历史印记。其中的代表人物包括文艺复兴时期的意大利哲学家乔尔达诺·布鲁诺 (Giordano Bruno) 、丹麦天文学家第谷·布拉赫 (Tycho Brahe) 、其助手德国天文学家约翰尼斯·开普勒 (Johannes Kepler) 、波希米亚数学家伯纳德·波尔查诺 (Bernard Bolzano) 、法国数学家奥古斯汀·柯西 (August Cauchy) 、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (Niels Henrik Abel) 、奥地利数学及物理学家克里斯提昂·多普勒 (Christian Doppler) 、奥地利物理学及哲学家恩斯特·马赫 (Ernst Mach) 、相对论创立人德国理论物理学家阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein) 和他的大学同僚乔治·皮克 (Georg Pick) ，而皮克是教授爱因斯坦张量微积分的数学家之一。上述科学家在布拉格生活期间，建立了几个对后世影响深远的数学和物理学理论，并且从事相关之研究工作。十七世纪初，开普勒根据第谷·布拉赫的观测结果，提出行星运动三大定律之第一、第二定律。十九世纪上半叶，波尔查诺给出了一个既有分形特征，又不可微分的连续函数，并且以无限数集 (infinite sets) 为题撰写了《无穷的诡论》 (Paradoxes of Infinity,1851) 。1842年，布拉格理工大学数学教授多普勒在布拉格Ovocný trh (图1) 的查理大学，首次就其创立的效应 (后来称为“多普勒效应”) 发表公开演讲。1911年至1912年，爱因斯坦在布拉格德国大学 (Prague German University) 担任理论物理学教授，醉心于广义相对论的研究工作。甚至著名捷克作家卡雷尔·恰佩克 (Karel Capek) 也是在布拉格发明“robot”这个字 (捷克语Robota，意谓劳役、苦工) 。本文后面会简单介绍这些与布拉格息息相关的伟人纪念碑和雕塑。接下来，本文集中讨论布拉格旧城广场中心的一个著名建筑物，分析其中有趣的数学问题。

图2. 旧城广场天文钟的位置

布拉格旧城区中心 (图1-2) 有一个古色古香的天文钟 (捷克语orloj，英语horologe) 。无论是一般游客，或是热爱数学的人，都会慕名而来一睹这个举世稀有的珍品。本文将揭示天文钟与三角形数之间鲜为人知的关系，探讨三角形数的特性，以及这些特性如何提升大钟的准确度。

布拉格天文钟的数学模型设计来自简·安卓亚 (Joannes Andreae，捷克语Jan Ondrejuv，生于1375年，卒于1456年) 。安卓亚又名辛蒂尔 (Šindel) ，在国王查理四世于1348年所创办的布拉格大学任教。1410年，辛蒂尔当上大学院长，天文钟的设计意念终于通过卡丹市 (Kadaň) 的钟匠密库拉斯 (捷克语Mikulás，即英语Nicholas) 得以实现。

布拉格天文钟设于旧城市政厅一座约六十米高的钟楼内，而两个大钟盘 (图3) 则镶嵌在钟楼南面的外墙上。六百年来，天文钟经历过几次大型翻新，其中一次约在1490年，由克伦洛夫城 (Ruze) 的钟表工匠简恩 (Jan，又名哈劳斯大师Master Hanus) 带领进行。天文钟下钟盘的左方特别设置一面纪念碑，用来表彰这些钟匠们的付出和贡献。

图3. 布拉格天文钟的两个钟盘

天文钟的上钟盘是一个靠发条机制控制而运作的星盘，象征天球 (celestial sphere) 由其北极通过南极落在切平面上的球极平面投影 (stereographic projection) 。钟盘的中心点相当于天球的南极，南极四周的最小内圆代表南回归线，而外圆则代表北回归线，两者之间的同心圆相当于天球赤道(图4)。

图4. 天文钟的上钟盘

球极平面投影有一基本性质 (由古希腊天文学家托勒密Ptolemy提出) ：

因此，天球黄道的投影也是圆形，用刻有十二星座图案的镀金钟圈表示。虽然天球黄道的中心点并不是南极点，但是镀金钟圈却神奇地绕着南极点转动 (如图4所示) 。此外，天文钟也指出了太阳在黄道上的大概位置、月球的运动和月相，以及日、月和十二星座各自的出、落和中天时间。

镀金太阳指针在罗马数字钟圈上转动，显示的是中欧时间 (Central European Time，简称CET) ，值得留意的是，中欧时间和原来的布拉格当地时间相差只有138秒。旁边那枝镀金星星指针所显示的是恒星时 (sidereal time) 。最外那个钟圈上有金制的阿拉伯数字1至24，标示从日落起计算的古捷克时间；而下方黑色的阿拉伯数字1至12，是用来标示早在巴比伦时代已经开始使用的行星时间 (planetary hours) 。行星时间则由日出开始算起，与古捷克时间的计算方法相反。

钟盘下方的黑色圆形部分代表天文曙暮光 (astronomical night) ，即太阳处于地平线下18度的时段；外围的棕色部分象征黎明和黄昏 (AVRORA和CREPVSCVLV标志着白昼和夜晚) ，而ORTVS和OCCASVS则代表日出和日落。

图5. 主钟的详图

(后面那三个同心大齿轮十五世纪初开始运作)

天文钟的主装置有三个同心大齿轮，每个直径为116厘米，最初由三个各有24齿的小齿轮驱动。第一个大齿轮有365齿，每个恒星日 (即23小时56分4秒) 推动星座钟圈转一周。第二个大齿轮有366齿，每一平太阳日 (mean sun day) 推动太阳指针转动一圈。由于地球环绕太阳的的公转轨道是椭圆形而非圆形，因此太阳在天球上的运动速度不均一。现时，星座钟圈的位置每年要经人手调校两次。第三个大齿轮有379齿，推动月亮指针根据月球的视运动 (mean apparent motion) 而转动。因为月球轨道同样是椭圆形，所以月亮指针也需要不时以人手校准。月亮指针 (图4) 其实是个空心球体，内藏机关，可展示月相。这个指针设计于十七世纪，转动的动力来自椭圆环圈的运动。

下面的钟盘是个月历钟，上面有十二幅由马内斯 (Josef Mánes) 绘画的饼图画，每一年转一周，最上的钟针标示一年中的某一日，同时亦提供取名日 (name days) 等信息。

下述例子诠释了十五世纪钟表工匠的精湛技术。天文钟的机械组件里，有一个大齿轮，它的圆周上有24道齿槽，齿槽间的距离随圆周逐渐递增 (图6-7) 。这个装置使大钟每天重复地按时敲打一至二十四下。与大齿轮连着一个辅助齿轮有六道齿槽，齿轮圆周按照“1，2，3，4，3，2”的比例分成六段。这几个数字合起来构成了一个循环周期，令齿轮不断地重复转动。这六个数字的和是15。

图6

每到整点，扣子便会升起，大小齿轮便会运转。耶稣十二门徒的小木偶会通过钟面两侧的小窗口列队绕行一圈，然后钟声徐徐响起。待扣子回落在齿槽时，两个齿轮就会停止转动。大钟每天敲打的次数是1+2+...+24=300下。由于300能被15整除，所以小齿轮每天同一时间的位置都是不变的。

大齿轮有120个内齿，啮合在一个针齿轮之中，针齿轮有六支围住小齿轮轴心的水平小横杆。大齿轮一天转一圈，而小齿轮则以高四倍左右的圆周速度一天转二十圈。这么一来，就算大齿轮出现磨损的情况，小齿轮都可以保持天文钟按刻报时的准确度。与此同时，小齿轮能够有效地使大钟在每天凌晨一时，只敲打一次。从 (图7) 所见，大齿轮的第一、二个齿槽之间并没有轮齿，即便有，也会因为太小而容易断开，所以，扣子只能够接触到小齿轮弧长为一的轮齿。

Fig7.天文钟详图中小齿轮的位置

图中的扣子卡在大齿轮的十八时与十九时之间的齿距上

从文献[2]得知，上述的数列能够不断被建构出来，直至无限大。可是，并不是所有周期数列都拥有如此巧妙的总和特性。例如，我们可以很快便知道1，2，3，4，5，4，3，2不可用，因为6＜4+3；而1，2，3，2也不可用，因为2+1＜4＜2+1+2。

布拉格天文钟很可能是世上现存少数装有 (图6)零 件的大钟当中最古老的一个 (文献[1]，76页) 。正因上述完美的总和特性，美国数学家斯洛恩 (Sloane，参考书目[3]及[4，A028355，A028356]的作者) 把1，2，3，4，3，2，1，2，3，4……称为时钟数列 (clock sequence) 。

本节简洁地论述三角形数

与天文钟的关系，并找出所有跟时钟数列1，2，3，4，3，2拥有相同特性的周期数列，亦即可应用在小齿轮构造的周期数列。设 N={1,2,⋯}。

若对任意正整数 k，存在一个正整数 n 使得

成立，那么该周期数列 ｛a _i ｝ 会被称为辛蒂尔 (Šindel) 数列，其中等号左边的三角形数 T _k 等于大齿轮所有时刻的总和 1+2+⋯+k，而右边数字的总和则表示小齿轮相应的转动圈数 (图8) 。我们在参考资料[2]证明了，上述条件可被一个弱得多的条件所取代，只需要有限个 k，那就是，序列a ₁ ,a ₂ ,…,a _p ,a ₁ ,a ₂ ,…的周期长为 p，若存在正整数 n，使等式(1)对k=1,2,⋯,a ₁ +a ₂ +⋯+a _p −1成立，那么该数列就是辛蒂尔数列。这样便可在有限的运算次数中，检查某一周期 a ₁ ,⋯,a _p 能否得出辛蒂尔数列。文献[2]也提供了查找辛蒂尔数列的显式算法。

图8. 每行上面的数代表了小齿轮的小节的长度；而下面的数表示第k个小时大钟敲打的次数。

图9. 爱因斯坦纪念牌

离天文钟几米远的地方，竖立着一个爱因斯坦纪念牌，纪念他在1911年至1912年间，在旧城广场十七号暂住的岁月 (见图9) 。纪念牌旁边的哥德式教堂泰恩 (Týn) ，安放了建于1601年的第谷·布拉赫的墓冢，供游人参观。沿旧城广场向前走，一直到契里特纳大街 (Celetná Street) 25号，就会看见波尔查诺纪念碑 (图10) 。旧城广场附近还有其它科学家的纪念碑及半身塑像，同样也值得参观。这些人物包括爱因斯坦 (Vinicná7号、Lesnická7号) 、多普勒 (查理广场20号、Obecnlhodvora7号；图11) 、开普勒 (查理大街4号、Ovocnytrh12/573号) ，以及位于Parlerova街2号的开普勒和布拉赫的大型雕像 (图12) 等。

图10. 波尔查诺纪念碑

图11. 多普勒纪念碑

图12. 开普勒与布拉赫的大型雕塑

作为旅游热点，布拉格拥有不同历史风格的建筑物，罗马式、哥德式、文艺复兴、巴洛克等建筑在市内比比皆是，因此被誉为最美、最浪漫的中欧城市之一。宏伟的布拉格城堡、艺术家和巴洛克雕塑处处可见的查理大桥 (Charles Bridge) ，还有泥巴妖怪勾勒姆 (Golem) 传说的发源地——犹太区 (Jewish Town) 。相传勾勒姆是由德高望重的犹太教师罗乌 (Rabbi Loew) 在十六世纪末左右制造，用来帮助当时居住在布拉格的犹太人对抗迫害。此外，布拉格也是欧洲的文化重镇，拥有浓厚的音乐传统，历史上曾有多部著名作品在此公演。1787年10月29日，享负盛名的莫扎特歌剧《唐璜》在查理大学附近的艾斯特歌剧院 (Estate Theatre) 首度公演。总括来说，不管你对数学是否感兴趣，布拉格都会给你带来无穷乐趣。

本论文由捷克科学院的院校研究计划（编号AV0Z10190503）及研究基金（编号IAA100190803）资助。感谢JakubŠolc先生提供图像技术支持。

[1] Z. Horský: The astronomical clock of Prague, Panorama, Prague, 1988.
[2] M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of Šindel sequences, Comment. Math. Univ. Carolin. 48 (2007), 373–388.
[3] N. J. A. Sloane: My favorite integer sequences, arXiv:math.C0/0207175v1, 2002, 1–28.
[4] N. J. A. Sloane: The on-line encyclopedia of integer sequences, 2007, published electronically at http://www.research.att.com/~njas/sequences/