撰文 | 刘钝
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默比乌斯
（August Ferdinand Möbius，1790-1868）
，又译作莫比乌斯、贸比乌斯，德国数学家与天文学家，今人知道这个名字，多半由于那个以他命名的拓扑学模型。默比乌斯带不单具有丰富的数学内涵，其造型也见于艺术作品与建筑设计，机械设备与大众游戏中也可觅见它的踪影，而其表面那种周而复始永无边界的特殊性质，成为循环论时间观的一个象征。
默比乌斯生于德国萨克森州的普福尔塔
（Pforta）
，据说他的家族与宗教改革领袖马丁·路德有关，他就读的普福尔塔中学出了许多名人，包括历史学家兰克
（Leopold von Ranke，1795-1886）
与哲学家尼采
（Friedrich Wilhelm Nietzsche，1844-1900）
。成年后的默比乌斯相继在莱比锡大学、哥廷根大学与哈勒大学学习，1815年在数学家普法夫
（Johann Friedrich Pfaff，1765-1825）
指导下完成了《恒星之掩星》的博士论文。后者也是大数学家高斯
（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）
的导师，因此名义上默比乌斯与高斯师出同门；不过高斯比他大13岁，数学成就更是其他任何人都无法企及的。
实际上，1813年默比乌斯曾向高斯学习理论天文学，当时高斯已担任哥廷根天文台台长多年了。1816年，默比乌斯被任命为莱比锡大学的天文学与高等力学教授，直到1868年去世他都在莱比锡大学工作。同高斯一样，默比乌斯的表面身份是天文学家，然而他们两人在天文学方面的工作都没有多少人记得，在数学领域却千古留名。
以默比乌斯命名的数学概念或工具包括默比乌斯平面、默比乌斯变换、默比乌斯函数、默比乌斯配置、默比乌斯反演等，涉及射影几何、数论与拓扑学等多个数学分支，但是最广为人知的还是他晚年发现的一种既简单又奇妙的拓扑结构，这就是被后人称为“默比乌斯带”或“默比乌斯环”的数学模型：它可以通过将一个长条纸带旋转180°后再把两端粘上制得，这是只有一个表面没有边界
（纸带的两侧边缘不算）
的环状物，如果一只蚂蚁沿着默比乌斯带前行，它将永远走不到头；再假如这只蚂蚁有意识，它知道顺时针或逆时针方向是什么意思，但是游历一周返回出发点时却发现原先认识的旋转方向完全相反了。用拓扑学的术语讲，默比乌斯带是一个不可定向
（non-orientable）
的表面；实际上每个不可定向的曲面都包含一个默比乌斯带。
图1 Adolf Neumann绘《默比乌斯像》（约1850年）
另一位叫利斯廷
（Johann Benedict Listing，1808-1882）
的德国数学家也提出了这一单面环带的几何模型，时间可能还要早几年，他也是“拓扑学”
（Topologie）
这一术语的提出者。不过默比乌斯研究这一题材的轨迹似乎更为清晰，默比乌斯带
（或
环）
的叫法已经约定俗成了。
图2 利斯廷像（约1860年）
为了参加法国科学院有关多面体理论的竞赛，默比乌斯曾考虑通过折叠与粘合三角形来逐步构造多面体，在这一过程中发现了单面曲面。在他身后出版的著作全集里，收录了一篇未曾发表的 1858 年的文稿，其中包含了图3中那种扭转了 3、4、5 个半圈的环带：默比乌斯系统地分析了这类环带，发现旋转半圈的次数如果是奇数，产生的环带只有单面；如果次数是偶数，则环带仍然具有正反两面。
图3 默比乌斯1858年手稿中的各种扭转闭合环带模型
事实上有两种不同的默比乌斯带，它们互为镜像：如果把纸带顺时针旋转180°再粘贴，就会形成一个右手性的默比乌斯带；逆时针旋转180°再粘贴就会形成一个左手性的默比乌斯带。
默比乌斯带还有很多奇妙的性质，我们只介绍两个直观的结果，读者不妨准备一个长条纸带，再拿出剪刀浆糊来做手工就很容易验证。如果从中间剪开一个默比乌斯带，就会得到一个扭转了两次
（每次180°）
的窄带子，它不再是不可定向的默比乌斯带，其上爬行的小蚂蚁如果不翻过纸带的边缘就不会到达另一面。
图4.1（左图） 从中间剪开仅有一个表面的默比乌斯带
图4.2（右图） 剪开后的窄条纸带有两个表面，等同于将长条纸带扭转两个180°后粘结起来的纸环
如果把一
个默比乌斯带按其宽度分为三份并沿分割线剪开，就会得到两个套在一起的环，其中一个是窄一些的默比乌斯带，另一个则是如同图4.2那样旋转了两个半圈再粘合起来的
普通环；
前者只有一个表面，后者则有两个表面。
图5.1（左图） 将默比乌斯带分为三份剪开
图5.2（右图） 得到两个套在一起的环，其中一个是窄的默比乌斯带（左），另一个是普通环
如果你准备的纸条足够长，也可以再试一下：
将纸条旋转奇数个半圈再粘结起来，就制得一个单面的类默比乌斯带；
将纸条旋转偶数个半圈，只能得到一个具有两个表面的普通纸环。
默比乌斯带的制作这样容易，很容易让人怀疑早就有人发现了它。不过在利斯廷与默比乌斯之前，的确没有人从数学上加以考察。有趣的是，在
意大利
的古代遗址森提农
（Sentinum）
的古罗马别墅中，人们发现了一幅公元200-250年前后制作的马赛克壁画，画面中央是罗马神话中的永恒时间之神，站在一条绘着黄道十二宫的环带之中，仔细观察，可以发现这是一条默比乌斯带。这件艺术珍品后来被德国人买走，1828年开始在慕尼黑的古代雕塑博物馆
（Glyptothek）
展出。默比乌斯或利斯廷是否参观过这件艺术品就不得而知了。
图6 意大利森提农别墅中的马赛克镶嵌时间之神（公元3世纪）
现藏慕尼黑古代雕塑博物馆
上图就是这幅马赛克壁画。永恒时间之神的拉丁文名字是Aion，源于希腊文的Αἰών，与时间和永恒有关，有人翻译成“艾咏”或“艾永”，笔者则建议译作“爱永”。爱永的形象是一个裸体男性，通常伴随着首尾衔接的蛇或者封闭轮环，象征死而复生与周而复始。图中的爱永站在一个象征时间轮回的默比乌斯带状的黄道带内，带面上镶着代表十二宫的图形，从左下角开始依次为室女、狮子、巨蟹、双子、金牛、双鱼、水瓶、摩羯、天蝎、天秤、人马、白羊，与太阳过宫的顺序不完全一致，猜想当年的工匠只是照猫画虎地拼镶图案，并不十分了解星宫排列的意义。在黄道环的两侧各有一棵大树，左边的枝头似已结出果实，右边则刚长出新叶。右侧地面上半卧的女子是罗马人的大地女神特鲁斯
（Tellus）
，相当于希腊神话的盖娅
（Gaia）
，围绕她的四名孩童象征一年中的四个季节。
古罗马壁画、雕塑乃至钱币上都有伴着黄道带的爱永形象，但是默比乌斯带形状的图像可能仅此一件。图7是在法国阿尔勒
（Arles）
发现的一幅罗马时代的马赛克拼嵌地板，图中的黄道带不是默比乌斯带。
图7 法国阿尔勒古罗马遗迹中的马赛克拼嵌地板中的爱永图像（公元2世纪）
图源：维基百科
默比乌斯带引起许多艺术家的兴趣，最有代表性的就是荷兰画家埃舍尔
（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）
了。图8是他的作品《默比乌斯带II》，一只倒霉的蚂蚁在环上无休止地爬行。名为《骑士》的图9深得科学家们的喜爱：李政道在《科学与艺术》一文中就引用它来说明如何用艺术手法来表达科学思想；杨振宁则将它作为自己普及性读物《基本粒子发现简史》
（上海科学技术出版社，1963年）
的封面，借此阐释物理学中对称、互补与缔合变换等观念。
图8 埃舍尔《默比乌斯带II》 (1963)
图9 埃舍尔《骑士》（1946）
默比乌斯带也成了一些装潢艺术的素材，下面两个图案其实就是默比乌斯1858年手稿中那个压扁了的默比乌斯带：图10现已成为国际公认的回收循环利用标志，有许多不同的变体；图11是谷歌云端硬盘
（Google Drive）
的徽标。
图10 国际回收标志
图11 谷歌云端硬盘徽标
默比乌斯带也出现在雕塑作品和建筑设计之，以下图12是瑞士建筑师兼雕塑家马克斯·比尔
（Max Bill，1908-1994）
的作品《无尽的缠绕》，位于比利时安特卫普的米德尔海姆
（Middelheim）
雕塑公园内。图13是美国北卡州夏洛特市的全美赛车名人堂
（Nascar Hall of Fame）
的正门，整个建筑被一个默比乌斯带状的廊檐环绕。
图12 比尔《无尽的缠绕》（1953-1956），安特卫普的米德尔海姆雕塑公园内
图13 美国夏洛特市全美赛车名人堂的默比乌斯带廊檐
使用皮带轮作为传动装置的工匠可能早就发现并利用了默比乌斯带的性质，因为将长条皮带扭转半圈后再联结起来的传动带，带子的两面都会接触旋转的轮子，磨损的速度只有正常安装形式的一半；此外，这种形式的传动带也不太容易左右卷曲。对于这种技术的早期文字记录可以追溯到1871 年，那是在默比乌斯的著作出版之后；不过中世纪穆斯林学者伊斯梅尔·
贾扎里
（Ismail al-Jazari，1136-1206）
在绘图手稿《巧妙机械装置知识之书》
中，留下了一幅畜力驱动的汲水泵机械图，内中出现了默比乌斯带状的链条泵图像。
图14 贾扎里绘图手稿中的默比乌斯带状链条
图源：National Geographic Society
如果哪位读者家里还保存着老式的击打式打印机，不妨打开机壳看看它的色带是怎样安置的，很可能也是一条默比乌斯带。
默比乌斯带也经常出现在科幻小说、电子游戏与影视作品中，通常的梗就是把宇宙想象成如同默比乌斯带那样的构造，如亚瑟·克拉克
（Arthur Charles Clarke，1917-2008）
1946年的《黑暗之墙》
（The Wall of Darkness）
。1950年，美国天文学家多伊奇
（Armin Joseph Deutsch，1918-1969)
发表了一篇科幻短篇《一个叫做默比乌斯的地铁线》
（A Subway Named Mobius）
，描绘波士顿地铁开辟了一条按照默比乌斯带设计的新线路，进入这条线路的波士顿MTA86号列车失踪了，系统管理者搞不明白它怎么就消失了，更无法解释它好像仍然消耗电力在系统里运行。2019年美国华特迪斯尼推出的《复仇者联盟4：终局之战》（Avengers: Endgame）中，大英雄托尼·斯塔克（Tony Stark）尝试借由默比乌斯带模拟时空拦截与时间指向，竟然获得成功。
图15 《复仇者联盟4：终局之战》剧照
作为永恒时间之神的爱永形象始现于
希腊化时期
，相关的信仰及其象征符号到
罗马帝国
时代才得以到完善。罗马“五贤帝”之一的安东尼·庇护
（Antoninus Pius，86-161 AD）
将爱永视为帝国强盛的象征，其形象也出现在当时铸造的银币之上。图16是安东尼·庇护纪念柱的底座，浮雕中央振翅飞翔的就是永恒时间之神爱永，他正把庇护及其妻子带向天堂，皇帝的身份由其手中的权杖及两侧的飞鹰显示。
图16 带有爱永形象的庇护皇帝纪念柱基座
现存梵蒂冈博物馆前庭
后人常把爱永与另一个时间之神克洛诺斯
（Cronos）
混为一谈，后者也是“编年史”
（chronicle）
、“年代学”
（chronology）
的词源，出身则更为古老。在希腊神话谱系
（如赫希俄德）
中，克洛诺斯本是第一代泰坦神的领袖，在母亲盖娅的帮助下推翻了父亲乌拉诺斯
（Uranus）
的统治，他用来阉割父亲的镰刀后来成了收获的象征。值得一提的是，克洛诺斯的统治后来也被他的孩子宙斯一代所取代。
希腊古典时代的哲学家开始赋予克洛诺斯双重意义，柏拉图认为这个词既有“纯洁”的意思又代表“流逝的时间”。罗马时代的希腊作家普鲁塔克
（Plutarch，c.46-119 AD）
对克洛诺斯作了更广泛的分析，指出他所代表的时间乃是万物的“第一个原因”。罗马人继承这一思想，将克洛诺斯视为时间的同义词：希腊神话中克洛诺斯吞吃自己孩子的故事被解释成时间对万物的破坏性蹂躏。文艺复兴之后艺术作品中的克洛诺斯通常是一个手持镰刀的残暴老人，面对生灵毫不留情，如下意大利巴洛克画家
罗曼内利
（Giovanni Romanelli，1610-1662）的油画。
图17 罗曼内利《克洛诺斯与他的孩子》（c.1650）
现存华沙波兰国家博物馆
在希腊-罗马文化中，并存着两种时间之神：一个是克洛诺斯，代表着经验的、线性的、进步的和历史感的时间，这一观念与希伯来的一神教观念若相契合；另一个则是爱永，代表着永恒的、无垠的、循环的、仪式感的时间，爱永出现的时间要晚一些，大约兴起于希腊化时代，很可能受到埃及甚至印度文化的影响。在古埃及的象形文字中，衔尾蛇通常代表生命轮回，有时也作为太阳的符号，象征其运行的轨迹、永恒与无限。
