数学直觉

Homo Economicus · 知乎专栏 · · 2016-06-01 08:57

正文

我和 @Euclidean 和 @Jianchi Chen 吃饭时，聊到了“数学直觉”这个概念。我当时想不出来怎么定义数学直觉。但今天，我发现了个能体现数学直觉的好问题。

从自然数1-n中随机取m（1≤m≤n）个，其中最大数的数学期望是多少？ - Richard Xu 的回答

我的思路是这样的：

首先，期望值E和n的大小应该呈线性关系(a)。从1~100之间取m个数，期望值应该是1~1000之间取m个数的1/10。E~n

其次，m越大，期望值越高。但二次导数应该是负的(b)。m越大，dE/dm越小。有不少连续增加但二次导数是负数的函数，但这题里的答案必须是有理数，所以可以排除log，sqrt。应该是E~1-1/m或者1-1/m^k之类的表达式(c)。

m=1时，期望值E=(n+1)/2。m=n-1时，期望值是n-1/n（只有1/n的可能是max=n-1，其他情况是max=n）。m=1那个边缘条件让E=(1-1/m)*g(n)不满足。但E=m/(m+1)*g(n)满足。m=n-1那个边缘条件让E=m/(m+1)*n不满足，但E=m/(m+1)*(n+1)满足。所以我猜答案是E=m/(m+1)*(n+1)，结果果然是。

这个“解法”中推理步骤中使用到的论点(lemma)(a),(b),(c)证明起来比证明原题还难。但我的数学直觉告诉我它们是对的。我用这些数学直觉，加上边缘条件，就能得出正确的唯一解。