李文威著 LaTeX 排版的《模形式初步》新版修订出版了，全 LaTeX + PDF 都开放下载

《模形式初步》由李文威著，网络版于2022年6月修订，2024 年 8 月修订。2020 年 6 月由科学出版社出版，修订版正在印刷，PDF 版和勘误表可在作者网页获取。本书从复变函数论的经典视角出发，介绍了模形式的基础理论，包括定义、性质、分类以及相关的数论和几何应用等方面。

书稿主要内容：

1. 模形式的定义与背景

• 历史起源 ：模形式的研究始于19世纪，起源于求椭圆周长的问题，与椭圆函数、椭圆积分等密切相关。经过众多数学家的研究和发展，逐渐形成了现代的模形式理论。
• 基本定义 ：全纯函数 称为级为 权为 的模形式，如果满足对称性 且当 时 有界。

2. 基本定义与相关概念

• 线性分式变换 ：介绍了线性分式变换的定义和性质，如保持交比、将圆映为圆等。
• 圆盘模型 ：给出了Poincare圆盘模型，并证明了它与上半平面模型之间的保距同构关系。
• 变换的分类和不动点 ：对线性分式变换进行分类，包括椭圆、抛物和双曲变换，并讨论了它们的性质和不动点。
• 同余子群、尖点、基本区域 ：定义了同余子群、尖点和基本区域等概念，并研究了它们的性质和相互关系。
• 整权模形式初探 ：探讨了整权模形式的定义和性质，包括自守因子、Fourier展开等。
• Dirichlet区域 ：介绍了Dirichlet区域的定义和构造方法，并研究了它的几何性质。

3. 案例研究

• 经典分析 ：回顾了 函数和Riemann 函数的基本性质。
• Eisenstein级数 ：构造了Eisenstein级数，并研究了它们的性质和Fourier展开。
• 主同余子群的Eisenstein级数 ：讨论了主同余子群的Eisenstein级数的定义和性质。
• 同余子群的Eisenstein级数概述 ：将一般同余子群的模形式空间分解为Eisenstein级数和尖点形式两部分。

4. 模曲线的解析理论

• 复结构 ：研究了如何赋予商空间 自然的Riemann曲面结构。
• 添入尖点 ：讨论了如何向 添入尖点，以将其嵌入为另一个Riemann曲面 的开子集，并研究了尖点附近的几何结构。
• 同余子群情形 ：对同余子群的情形进行了特殊讨论，包括紧性证明等。
• Siegel定理与紧化 ：介绍了Siegel定理，刻画了使 为紧的离散子群，并研究了相关的性质。
• 间奏 ：讨论了可公度性、算术子群和四元数等相关概念，并研究了它们与模形式的关系。

5. 整权模形式的一般定义

• 正则尖点 ：定义了正则尖点和非正则尖点的概念，并研究了它们的性质。
• 一般定义 ：给出了整权模形式在余有限Fuchs群情形下的一般定义，并讨论了相关的性质和条件。

6. Petersson内积

• 定义 ：在 上定义了Petersson内积，并研究了它的性质和相关的计算。
• 比较 ：比较了共轭子群的Petersson内积，并研究了它在Hecke算子研究中的应用。

7. 与复环面的关系

• 格与复环面 ：介绍了格和复环面的定义和性质，并研究了它们之间的关系。
• 分类 ：对复环面进行分类，讨论了不同级结构的复环面的同构类和分类问题。

8. 维数公式与应用

• 除子类的计算 ：计算了除子类，并研究了相关的性质和应用。
• 亏格公式 ：给出了亏格公式，并通过具体例子进行了说明。
• 偶数权维数公式 ：应用Riemann - Roch定理计算了偶数权模形式空间的维数，并给出了具体的公式。
• 应用举隅 ：通过具体例子展示了维数公式的应用，包括确定Eisenstein级数的零点等。

9. Hecke算子通论

• 双陪集与卷积 ：从群论视角介绍了Hecke算子，通过双陪集运算来理解。
• 双陪集代数 ：定义了双陪集代数，并研究了它的性质和相关的运算。
• 与Hermite内积的关系 ：讨论了Hecke算子与Hermite内积的关系。
• 模形式与Hecke算子 ：研究了模形式与Hecke算子的相互作用，以及特征形式的相关概念。

10. 同余子群的Hecke算子

• 菱形算子和 算子 ：对级为 ， 的情形进一步考察Hecke算子，定义了菱形算子和 算子。
• 双陪集结构 ：研究了双陪集结构，并给出了相关的计算公式。
• 一般的 算子和特征形式 ：讨论了一般的 算子和特征形式的定义和性质。
• 旧形式与新形式 ：介绍了旧形式和新形式的概念，并研究了它们之间的关系。
• Atkin - Lehner定理 ：阐述了Atkin - Lehner定理的内容和相关应用。

11. -函数

• Fourier系数的初步估计 ：对模形式的 -函数的Fourier系数进行了初步估计。
• Mellin变换与Dirichlet级数 ：介绍了Mellin变换与Dirichlet级数的相关概念，并研究了它们与 -函数的关系。
• 应用 ：通过具体例子展示了 -函数的应用，如从 级数到平方和问题。
• Hecke特征形式的 -函数 ：研究了Hecke特征形式的 -函数的性质和相关的计算。
• 函数方程 ：给出了 -函数的函数方程，并研究了它的性质和应用。
• 凸性界 ：介绍了凸性界的概念，并研究了它在解析数论中的应用。

12. 椭圆函数和复椭圆曲线

• 椭圆函数 ：介绍了椭圆函数的定义和性质，并研究了它与椭圆积分的关系。
• 射影嵌入 ：讨论了椭圆曲线的射影嵌入问题，并研究了相关的几何性质。
• 复环面的情形 ：研究了复环面的情形，并给出了相关的计算公式和性质。
• Jacobi簇与椭圆曲线 ：介绍了Jacobi簇与椭圆曲线的相关概念，并研究了它们之间的关系。
• 加法结构和若干例子 ：讨论了椭圆曲线的加法结构和若干具体例子。
• 复乘初阶 ：介绍了复乘的初步概念，并研究了它与椭圆曲线的关系。
• 起源与应用 ：探讨了椭圆函数和椭圆曲线的起源和应用。

13. 上同调观模形式

• 模形式作为全纯截面 ：说明在余有限Fuchs群 充分小的假设下，如何将权 的模形式实现为线丛 的截面。
• 若干局部系统 ：介绍了若干局部系统，并研究了它们与模形式的关系。
• 上同调与滤过 ：讨论了上同调与滤过的相关概念，并研究了它们与模形式的关系。
• Eichler - 志村同构 ：阐述了Eichler - 志村同构的内容和相关应用。
• 抛物上同调 ：介绍了抛物上同调的概念，并研究了它与模形式的关系。
• 上同调观Hecke算子 ：从同调代数的角度研究Hecke算子，探讨其在上同调层面的表现。

14. 模形式与模空间

• Tate曲线 ：介绍了Tate曲线的相关概念，并研究了它与模形式的关系。
• 几何模形式 ：讨论了几何模形式的定义和性质，并研究了它与模空间的关系。
• Eichler - 志村关系 ：阐述了Eichler - 志村关系的内容和相关应用。
• Eichler - 志村关系的主定理 ：介绍了Eichler - 志村关系的主定理，并研究了它与模形式的关系。
• 重访Hecke代数 ：重新审视Hecke代数，并研究了它与模形式的关系。
• 从特征形式构造Galois表示 ：讨论了如何从特征形式构造Galois表示，并研究了它与模形式的关系。
• 模性一瞥 ：介绍了模性的概念，并研究了它与模形式的关系。

资源获取

• https://github.com/wenweili/Modulform

• 百度网盘链接： https://pan.baidu.com/s/1AczI642ij-MyAqho45xr5g?pwd=ssj5 提取码：ssj5

• 夸克网盘： https://pan.quark.cn/s/f7c806f3aeb1

• https://www.latexstudio.net/index/details/index/mid/4302.html

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