集合的概念

数学作为科学研究的主要工具，其涉及的范围相当广泛：

为了可以去表达、建构这些研究对象，数学产生了它的基础之一 集合论 （Set theory），这就是本单元要介绍的内容。

比如下面是一些多边形的集合，其中的每个多边形都是该集合的元素：

接着让我们来了解下如何表示集合。本课总共会介绍三种表示法：

• Venn 图

• 列举法

• 描述法

让我们从最形象的 Venn 图开始。

2.1 Venn 图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部来代表集合，并将元素放在封闭曲线的内部，这种图称为 Venn 图 （中文翻译为文氏图、韦恩图等）。

比如下面是三个集合的 Venn 图 ：

在后面的学习中会看到，某些时候我们并不关心集合中的元素，此时可以只画出封闭曲线，然后用一个大写字母来为该集合命名 （以示区分）：

2.3 数学小历史

Venn 图是19世纪英国的哲学家、数学家约翰·维恩（John Venn，1834 －1923）在 1881 年发明的：

上一节中提到的多边形的集合是否为 Venn 图？

A  是                 B  不是

查看详细解答，请点击最下面的“ 阅读原文 ”。

我们还可以把集合中的元素一一列举出来，这种表示方法叫作 列举法 。比如上节中的第一个 Venn 图可以用列举法表示 为：

3.1 自然数和整数

数学中常用的自然数、整数可以通过列举法来表示：

其 中的、就是数学中专门用来表示自然数和整数的符号。

4 描述法

还有一种方法是描述法，通过它可以像下面这样来表示所有正数的 集合：

有 了列举法为什么还需要描述法？ 来做一道题就知道了：

本节来解释下集合的三个重要特性。

5.1 无序性

集合里面的元素是没有顺序的，这叫作集合的 无序性 。比如下面两个集合：

虽然顺序不同，但是因为元素完全一样，所以我们说这两个集合是 相等 的，即有：

5.2 互异性

集合中的每个元素都只能出现一次，这叫作集合的 互异性 。比如下面这样，前者是集合，而后者不是集合：

这里是《高中数学人教版》的规定，在该书中认为集合不能出现重复的元素：

但有的教材也认为上面其实是相等的集合，这在后面的课中会看到例子：

不作特别说明的话，本课程默认遵守《高中数学人教版》的规定。

5.3 确定性

集合中的元素必须是确定的，这叫作集合的 确定性 。比如下面这个集合：

可以明确知道，2 是该集合的元素，-1 就不是。

在欧洲某小城有一位理发师，他挑选顾客的时候有一个古怪的标准，就是只为城内所有“不为自己刮胡子的人”刮胡子，那么他的潜在顾客是否可以构成一个集合？

（1）答案是不可以。关键在于理发师该为自己刮胡子吗？如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”，他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”，他又应该为自己刮胡子。

也就是说，理发师的潜在顾客是不明确的，因此不可以构成一个集合。

（2）这个问题是数学中的一个著名公案。在集合产生的早期，德国数理逻辑大师戈特洛布·弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）认为只要给出一个明确的概念，就可以构造一个集合。这一认知成为他的著作《算术的基本定律》的起点。

当时年轻的英国哲学家、数学家和逻辑学家伯特兰·罗素（Bertrand Arthur William Russell）在和他通信的时候提出了一个罗素悖论（上面的理发师问题是该悖论的一个通俗化版本），该悖论实际上动摇了弗雷格著作的根基。此时《算术的基本定律》的第二卷已经付印，不能再更改了，他只得痛苦地在书后加了一段说明：

“在工作完美收官之际，却突然发现整个基础都必须要放弃，对一个科学家来说没有什么能比这个更加不幸的了。是罗素的一封信件让我认识到这一点。该悖论的出现不光摧毁了我的理论，甚至动摇了整个数学的根基。”

为了解决这个悖论，后来的学者对集合的概念进行了完善，提出了公理化集合论。该理论较为复杂，我们就不展开了。在本课程中可以简单理解为，为了解决罗素悖论，所以要求“集合的元素必须明确”。

7.1 用 python 来计算

首先，我们的课程的重点在于讲解概念，对于计算并不怎么涉及；再者，我们的读者有一些已经参加工作了，并不需要像学生一样注重计算。所以本课程专门增加了简短的篇幅来介绍如何用 python 完成数学的计算。

有两点需要说明下：

• 本课程究竟不是编程课程，所以涉及到的 python 语言细节不会进一步地解释

• 不需要了解这部分内容的同学可以跳过，不会影响其余章节的阅读

7.2 集合的创建

下面开始正式的讲解。之前说了集合是数学的基础，那么 python 作为一门可以很好进行数学运算的语言，自然也会有支持集合的库，就是很常用的 numpy 库。下面是简单的代码示例：

import numpy as np # 引入 numpy 库

# 用列举法创建两个集合
A = np.array([1,2,3,4,5,6])
B = np.array([1,2,1,3]) # numpy 的集合是允许重复元素的

# 用描述法创建一个集合
C = np.arange(1, 7, 1) # 1 ～ 6 的自然数 

# 打印结果
print('集合 A = {}'.format(A))
print('集合 B = {}'.format(B))
print