偶然和几位五年级学生对话——
“你知道长方形的面积怎么求吗？”
“长乘宽啊，谁不知道！”
“为什么用长乘宽呢？”
“这又没有考！”
“老师好像也没有说为什么吧。”
同样的问题再问一位研究生毕业的同行，也是满脸尴尬：“是哦，为什么是长乘宽，这个问题我的老师也没有讲过啊。”
后来，有机会观摩了几节“长方形的面积”，课堂中师生很快地推导出长方形的面积公式，然后用大量时间进行各种巩固练习。
学生牢记公式，熟练应用，教师胸有成竹，教学过程流畅，整个课堂一派祥和，皆大欢喜。
课后访谈时，多数执教教师认为：这节课知识点简单，比较好上，学生也比较容易掌握。
回想起之前的对话，我陷入思考：这节课真的好上吗？学生真的理解长乘宽的道理了吗？上完这节课后，除了公式，我们又给学生留下了什么？
数学是一门讲道理的学科，数学学科的定理、法则、算理等知识的产生、发展及每个规则的确定都蕴含着深刻的数学道理。
数学课堂应重视知识的形成过程，利用学生已有的生活经验、知识基础、认知结构，以有效活动为支撑，通过问题引领、对话交流、思辨提升、追根溯源，引导学生挖掘隐藏在数学知识背后的那些深层次的数学之“理”，从而促进“数学理解”，活化“数学思维”。
在运用减法的性质进行简便计算时，学生总会出现类似于“100-（45 +15）=100-45+15”这样的错误，究其原因是学生不明其理，去掉括号后引起计算方法混淆。
其实学生在现实生活中购物时已经有了类似的生活经验，可以利用这个经验发现和讲清算理，可以把原题改变成类似的购物情境：“买一个45元的书包和一个15元的文具盒，付出100元，该找回多少钱？”并提出问题：“如果是你，你会怎么付钱？”让学生通过模拟现实中“付款、找钱”的过程，发现如果两个物品同时付款，那么给100元营业员找回40元，如果先买书包，再买文具盒，那么应该先拿走45元，再拿走15元。
这时学生就发现等式左边求的是两个物品的总价，再求找回的钱，即买两个物品后剩下的钱，可等式的右边表示的却是先求买了书包剩下的钱，再添上文具盒的钱，等式两边意义不相同，所以“100-45+15”这样计算是错误的，而应该是“100-45-15”。这样依托购物情境，唤醒学生的生活经验，让学生讲清“先加后减”以及“先减再减”的算理。
利用生活经验与数学知识对话，讲清算理，让“生涩难懂”的数学道理变得“熟悉亲切”，学生就比较容易掌握其中规律进行简算。
“小数的初步认识”一课，很多教师认为这一知识建立在学生已有的生活经验之上，不需要怎么教学生就会了，导致学生学习后仍对小数的认识不深刻，对小数说不出个所以然。课到最后，学生仍存在困惑：“我们都学习了整数，为什么还要学习小数？”
为此，国外的一本教材中设计了这样一个数学活动：剪一张长方形纸条，用它测量教室中不同物品的长度，尽可能测量得准确一些。
这个活动立足小数产生的源头——度量，在测量过程中，学生发现仅用整数来表示物品的长度是不够准确的，需要将纸条再划分成若干份，有学生分成2份、3份……有学生分成10份。无论采用哪种分法，学生都感受到了引入新数的必要性。
数学知识的产生立足于前人及学者的经验积累之上，是各种生活及数学活动的产物。要引导学生自己寻求知识产生的起因，探索与其他事物的联系，让孩子们在形式多样的学习活动中感悟，明晰知识产生的道理，促进有效学习。
抽象是数学最基本的特征，它舍弃了事物的其他方面而仅仅保留数量关系和空间形式。由于儿童尚处在从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段，对抽象的数学概念、规则尚不能完全理解，因此，要让学生经历知识的形成过程，借助自己的经验不断“数学化”，逐渐抽象形成数学知识。
例如开头提到的“长方形的面积”一课，教师往往围绕“长方形的面积=长×宽”这一公式展开，结果课到最后，学生依然存在困惑：“为什么长是长度，宽也是长度，它们一相乘，就变成面积了呢？”
为此，在教学中，教师可以依次提供如下四个图形，让学生经历从数格子到不数格子的抽象过程，由借助方格图得到长方形的面积，到直接给出长和宽的长度，发现长与每行的个数、宽与行数之间的关系，从而领悟长方形面积公式形成的道理所在。
教学“小数加、减法”这节课时，在学习这部分内容之前，学生在以往的学习中积累了关于人民币计算的知识，且已经掌握了整数加、减法以及能进行简单的一位小数加、减计算。所以新课伊始，教师创设了微信抢红包的情境：“我女儿收到了两个红包，算算一共多少钱？”
学生说算式135+54，教师在黑板上板书出竖式。
“老师也收到了红包，算算老师一共收到了多少钱？怎样列竖式？”学生出现了②、③两种不同的算法：
学生比较竖式①和②时，马上发现竖式②错了。教师说：“竖式①末位的5 和4对齐了，竖式②末位的5 和4 也对齐了，没错。”
此话一出，立刻引起了学生的反驳：“1.35元加上5.4元不可能是1.89元，竖式②肯定错了！”“竖式①末位的5和4都表示元，可以对齐，竖式②末位的5和4表示的不一样，不能对齐。”
教师追问：“竖式②末位的5和4哪儿不一样呀？”
学生：“5表示5分，4表示4角，不能相加！”
教师继续追问：“为什么不能相加？”
学生水到渠成地回答：“单位一样才能相加。”“要像竖式③一样把小数点对齐了，才是对的。”
教师追问：“为什么要把小数点对齐呢？”
学生：“小数点对齐就能把十分位和十分位对齐，百分位和百分位对齐。”“个位上是1个1加5个1，十分位上是3个0.1加4和0.1，百分位上就只有5个0.01。”
通过对比整数和小数的算法，学生总结得出：“不管是整数加法还是小数加法，都要把相同数位上的数相加。只不过整数加法表现为末位对齐，而小数加法表现为小数点对齐。”
这一过程，联通了整数与小数加、减法之间脉络，通过比较、沟通、思考、内化，由点及面，让学生在说理中比较，在比较中凸显对“相同单位”的认识，充分挖掘“相同的计数单位才能相加、减”这个算理的本质，形成对“小数点对齐”的计算规则的深刻理解。通过将学生储存的知识调动起来，与新接触的内容相印证，这样的辨理过程让学生不仅能知其然，还能知其所以然，让学生深度理解知识，直达知识的核心。
数学知识结构既有知识发展的纵向逻辑线索，又有不同内容和方法之间横向的实质性联系。它是具有逻辑性、系统性的整体性结构，在教学中不能纯粹为教知识点而教知识点，而应通过对比沟通、深入思考、有效对话，在头脑里形成系统化、结构化的数学知识体系，以实现数学知识掌握的举一反三、触类旁通，从而让学生从整体上把握数学知识结构，完成知识体系的完整建构。
例如，教学“比的基本性质”这节课时，在学习这部分内容之前，学生已经学习了比的意义，知道了比与除法的关系、分数与除法的关系。于是，在教学过程中着重于纵横联结沟通分数、除法与比三者的内在关系，向学生渗透事物是普遍联系的观点。
教师首先写出两个数7和8，让学生说说两个数之间的加、减、乘、除的不同关系，当学生说到7÷8时，教师提问：“7÷8的结果用分数怎么表示？”根据学生的回答板书“7÷8=7/8”。
教师继续追问：“像这样两个数相除也可以叫做什么？”由此引出比的意义，随着学生的回答教师完善板书“7÷8=7/8=7∶8”，随着等号的联结，教师对照板书“被除数÷除数=被除数/除数=前项∶后项”，紧接着引导学生用“相当于”来说清三者之间的联系与区别，再次对照板书“一种运算”、“一个数”、“一种关系”，至此，通过思维导图的联结，沟通并梳理了“除法”、“分数”与“比”三者之间的关系，显示出了三者“一脉相通”的“亲密感”。
根据上述知识块之间的内在联系和逻辑推理，从商不变的性质到分数的基本性质，学生自然而然地猜想到“比”也应该有一个“性质”，通过计算举例验证得到：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这样，通过联系猜测，再到推理验证，比的基本性质就水到渠成，呼之而出了。
第三层联结：用联想引发比的基本性质的应用。
