陶哲轩谈什么是好的数学

好的数学题解（比如在一个重要数学问题上的重大突破）；

好的数学技巧（比如对现有方法的精湛运用，或开发新的工具）；

好的数学理论（比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择）；

好的数学洞察（比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、模拟或主题的实现）；

好的数学发现（比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示）；

好的数学应用（比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域）；

好的数学展示（比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证）；

好的数学教学（比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格，或对数学教育的贡献）；

好的数学远见（比如富有成效的长远计划或猜想）；

好的数学品位（比如自身有趣且对重要课题、主题或问题有影响的研究目标）；

好的数学公关（比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就）；

好的元数学（比如数学基础、哲学、历史、学识或实践方面的进展）；

严密的数学（所有细节都正确、细致而完整地给出）；

美丽的数学（比如拉马努金的那些令人惊奇的恒等式；陈述简单漂亮、证明却很困难的结果）；

优美的数学（比如保罗·厄多斯的“来自天书的证明”观念通过最少的努力得到困难的结果）；

创造性的数学（比如本质上新颖的原创技巧、观点或各类结果）；

有用的数学（比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法）；

强有力的数学（比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果，或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论）；

深刻的数学（比如一个明显非平凡的结果，比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象）；

直观的数学（比如一个自然的、容易形象化的论证）；

明确的数学（比如对某一类型的所有客体的分类；对一个数学课题的结论）

其他。

一个领域变得越来越华丽怪异，在其中各种单独的结果为推广而推广，为精致而精致，而整个领域却在毫无明确目标和前进感地随意漂流。

一个领域变得被令人惊骇的猜想所充斥，却毫无希望地在其中任何一个猜想上取得严格意义上的进展。

一个领域变得主要通过特殊方法来解决一群互不关联的问题，却没有统一的主题、联系或目的。

一个领域变得过于枯燥和理论化，不断地用技术上越来越形式化的框架来重铸和统一以前的结果，后果却是不产生任何令人激动的新突破。

一个领域崇尚经典结果，不断给出这些结果的更短、更简单以及更优美的证明，却不产生任何经典著作以外的真正原创的新结果。