去年7月的时候，图灵上市了《
数学的雨伞下：理解世界的乐趣
》，这本书是
法国巴黎高等师范学院概率学博士米卡埃尔·洛奈的著作，全书没有用一个公式，却讲清楚了数学思维到底是什么。
一上市，就受到了科普圈的热烈追捧，更是获得了第十九届文津图书奖科普类提名图书、2023年度《环球科学》·最美科学阅读榜单、清华大学阅读推荐等，被读者称为“读过的最丝滑数学科普书，没有之一”。
同时这本书也受到了读者的广泛喜爱，豆瓣上9的高分，微信读书上也是好评如潮。
如果你不愿意读复杂繁琐的数学公式，却又希望领略数学之美的乐趣，那么这本书就是最好的选择。
《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
“拉拉亚”（La Raya）——西班牙和葡萄牙之间的陆地边境线，是世界上最古老的边境线之一。尽管经历了数百年的冲突、追讨和互不相让，但这条边境目前的路线几乎和 1297 年 9 月 12 日签订的《阿尔卡尼塞斯条约》中葡萄牙国王和卡斯蒂利亚国王认可的边境路线一模一样。
这条边境线从半岛的西侧出发，沿着米尼奥河上行数十千米，然后向右转至特隆科索河。从河流到古老的小径，边境线在伊比利亚的乡间蜿蜒穿行，时不时经过几个长满苔藓的古老界标。很快，边境线朝南转去，把偏居一角的葡萄牙框在它那皱巴巴的矩形里。这条数百千米长的边境线左摇右摆，折起又展开，蜷曲缠绕，直到一路与它相伴至加的斯湾的瓜迪亚纳河的河床。这条边境的路线是两国在 1815 年签订《维也纳条约》时正式划定的，双方对此至今都没有争议。
但是，这条边境线引发了一个令人震惊的问题。尽管它年代久远，而且官方协议对它进行了精确的划定，但地理学家似乎一直无法就其长度达成共识。“拉拉亚”到底有多长？在各种百科全书和参考文献中，我们会看到不同的测量值，短至 914 千米，长至 1292 千米，也就是说，长度差异超过 30%。
差异如此之大，绝对无法让人接受！约两百年前，布给和拉·孔达米纳在秘鲁测得的子午线长度，误差只有 0.02%。在 21 世纪的欧洲，在一片远比安第斯山脉更容易丈量的土地上，人们还手握更现代、更精准的仪器，测量结果的差异怎么会比两位院士的测量结果的误差高了 1500 倍呢？
这个问题远非孤例。世界上几乎所有的边境线以及所有沿海地区的海岸线，在丈量长度的时候似乎都遭遇了让人无法理解的疏忽。收录了地球上海岸线长度的主要来源有两个：第一个是《世界概况》（World Factbook），这是一份由美国中央情报局（CIA）出版的资料；第二个是美国的一家环境组织，即世界资源研究所（World Resources Institute, WRI）。这两家机构都拥有精确度很高的技术手段，其测量工作的可靠性毋庸置疑。但是，对于收录的近两百个国家的数据，这两家机构似乎无法通过相同的测量方法得到相同的结果。
《世界概况》中测得的加拿大海岸线的长度是 202 080 千米，而世界资源研究所测得的长度则是 265 523 千米。两个测量值之间相差了 60 000 多千米！长度差异再一次超过了 30%。而地球上几乎所有的海岸线都遇到了类似的情况（图 3.1）。
图 3.1
这样的差异实在让人无法理解。人类是遗失了什么古老的技艺，才会在地理测量上突然变得如此糟糕呢？布给和拉·孔达米纳的幽灵似乎在悄悄地嘲笑我们。
为了洗刷现代地形学家的耻辱，找出造成这些差异的原因，我们需要一个可以解释无法解释之事的人带着创造性和启发性参与进来。那是在英格兰北部的纽卡斯尔，1881 年，一个名叫刘易斯·弗赖伊·理查森（Lewis Fry Richardson）的人出生了，他的头脑冷静而多产。理查森一生都专注于物理学、数学和心理学的研究。此外，他还是研制雷达和预报天气的先驱之一。他也是一名坚定的和平主义者，他的政治理念将对他的职业生涯和研究产生重大的影响。
在第一次世界大战期间，理查森作为“良心拒服兵役者”而被免除了兵役，但这并没有妨碍他在法国为一支救护车队服务了三年。返回英国后，他重新回到英国气象局，但气象局在 1920 年成为英国皇家空军的附属机构，于是他辞职了。他还放弃了自己的好几项研究工作并摧毁了研究成果，因为他担心这些成果被用于军事目的。
奇怪的因果环环相套：理查森决定施展自己的科学才能去研究他想要对抗的东西——战争本身。从 20 世纪 30 年代开始，他发表了大量关于战时心理学、军备竞赛和武装冲突的数学机制的文章。而正是在其中一项研究里，这位英国学者发现自己碰到了一个意想不到的问题，几乎出于偶然，他打开了通往最美数学理论之一的突破口。
这位英国数学家注意到，交战国的共同边境越长，发生战争的倾向就越大。为了精准地研究这一统计学上的关联，他开始收集世界上不同国家边境长度的地理数据，并意识到自己找到的这些测量值大为不同。尤其，他还惊异地发现，西班牙和葡萄牙在两国的共同边境长度上并没有达成一致。西班牙称这一长度是 987 千米，而葡萄牙则说是 1214 千米。
这引起了理查森的好奇，他开始对此进行调查，并最终明白了导致分歧的原因。理查森在 1951 年撰写了一篇文章，但这篇文章在十年后才得以发表，那时他已去世。他的分析结论绝对称得上让人大开眼界：边境线没有长度。或者说得更确切些，对一条边境线唯一且客观的定义是不存在的。
我们可能已经对这些情况习以为常，但它们却从未真正地在我们的意料之中。加法和乘法的情况我们已经知道了，海拔也不再是个问题。可边境线会有什么非同寻常之处呢？
1967 年，数学家本华·曼德博（Benoît Mandelbrot）在一篇被后人赋予了传奇色彩的文章《英国的海岸线有多长？》（“How Long Is the Coast of Britain?”）中采用、丰富并完善了理查森的结论。曼德博解释，问题的关键在于边境线和海岸线的形状如此不规则，以至于无法弄清应该从哪一头开始测量。这些边境和海岸线弯弯曲曲，绕来绕去，折起、断开又蜷缩。没有哪个部分是呈一条直线的。
为了获得最准确的结果，我们是否应该不辞劳苦地对海岸线每一次几十千米的迂回都进行测量呢？我们是应该严格遵循这些迂回的形状，还是可以把它们切成直线呢？还有，应该如何处理那些长度只有几米的起起伏伏呢？那长度小于 1 米的岩石又该怎么办呢？当然，从绝对的意义上来说，我们应该尽可能准确地去测量，但很有必要在某种程度上就此打住。沿着每一粒沙子的轮廓去测量，是无法做到的。以毫米的精度去测量海岸线的长度，是毫无意义的。但在这种情况下，该如何界定呢？
为了避开这些问题，你可能会希望细节不会对测量产生太大的影响。在谈论数百千米的海岸线时，小于 10 厘米的迂回似乎可以忽略不计，但这就等于忽略了它们的数量。这样的细节比比皆是。假定英国的海岸线上有一百万个 10 厘米的小小迂回，那么它们累加起来的长度就是 100 千米！对它们忽略不计会造成测量上的巨大误差。
这就是问题的核心所在：细节越小，其数量就越多，而它们的累计长度值却绝不会小。
曼德博的结论毋庸置疑，我们越是精确地测量英国的海岸线，其长度就会越长。添加越来越小的细节只会令测量值无限度地增加（图 3.2）。如果我们不想做出任何让步，那么这个问题的唯一答案就是：英国的海岸线无限长。
图 3.2
这个现象在今天被称为理查森效应，或是更常说的海岸线悖论。当一根自然线条沿着大自然划定的路线，比如河流、山脊或悬崖蜿蜒而行的时候，这条线就会产生理查森效应。英国的海岸线、西班牙和葡萄牙的国界线“拉拉亚”，以及世界上大多数的海岸线和边境线都属于这种情况。它们的长度全都无限长。相反，从北极到南极覆盖整个地球的子午线则呈直线，其长度精确无虞。这就是为什么布给和拉·孔达米纳在当时的条件下能够在秘鲁获得如此精准的测量值。
了解到海岸线和边境线的长度是无限长的只是第一步。但是，如果你观察一张地图，你会清楚地看到一些海岸线比另一些更长。断然宣布所有的长度都是无限的，然后就此止步，这不会令人感到满意。这种说法只能告诉我们一件事：我们没有使用正确的数学方法。用测量直线的方法去测量崎岖的海岸线并不恰当。好了，既然我们现在摆脱了一种无效的方法，那么剩下的就是去创造一种新的方法——一种更合适、更符合实际的方法。
在科研生涯中，本华·曼德博的大部分时间专注于研究符合海岸线悖论的形状，也就是那些轮廓尺寸不一且极为零碎的几何形状。你想把这些形状放大多少倍都可以，它们永远不会有光滑、笔直的轮廓线。在理查森指出的奇怪现象之上，曼德博创建了一种全新的理论，而很多年轻的数学家都将追随后者的脚步。
1974 年，也就是在他关于英国海岸线的文章发表七年后，曼德博认为是时候发明一个词语来指称这些既如此美丽又如此神秘的形状了。他把它们称为“分形”。
