上一篇文章中，我们介绍了单目SLAM中的三角化恢复三维点深度的原理，本篇文章我们来聊一聊三角化深度值的误差分析。
目录：
(1)三角化所带来的误差的提出
(2)三角化中误差的来源分析
(3)如何减小三角化所带来的误差
(4)三角化所遇到的奇异情况
(1)三角化所带来的误差的提出
上一篇文章中，我们提到了两帧图像中的特征点坐标三角化得到空间点的三维信息。
今天，我们来分析一下三角化得到的三维信息中深度的误差。
如上图所示：
P
为空间中的一个三维点，
p
1
和
p
2
分别为在两个位置处，摄像机观察到的投影的二维点坐标。
l
2
为
p
1
在第二幅图中所对应的极线（极线的概念请参考立体视觉中的对极几何，这里不再赘述）。
现在，我们要探讨的是：
如果我们在
l
2
进行极线搜索时，所找到的
p
2
'
点与真实的
p
2
点有一个像素的误差，那么会给三角化后的三维点
P
的深度
z
带来多大的误差。
首先，根据上图，我们可以得到向量之间的关系，以及三角化中的两个夹角的定义：
a = p - t 公式(1)
α = arccos
公式(2)
β = arccos
公式(3)
其中，
a, p, t
均为向量，
α
和
β
为图中所示的两个夹角。
如果此时，我们求取的
p
2
'
点与
p
2
点有一个像素的偏差，同时，这一个像素的偏差又会给
β
带来
δβ
的角度变化，我们利用
β'
来表示对
β
进行
δβ
扰动后的新的角度。
设相机的焦距为
f
，则：
公式(4):
公式(5):
公式(6):
至此，加入扰动后的所有新的角度我们都求出来了。
由正弦定理，我们可以得到：
公式(7):
则由第二个位置上的二维点的一个像素的误差，可能导致的三角化后深度的误差为：
δp = ||p|| - ||p'||
这里的
δp
其实也正是深度的一个均方差（不确定度
σ
obs
），这个不确定度是我们后面要介绍的深度滤波器的一个很重要的概念，深度滤波器的目的也正是要不断减小这个不确定度，使得深度的不确定度最后能够收敛到一个能够接受的值。
(2)三角化中误差的来源分析
上面分析了第二幅图中的特征点
p
2
的误差是如何影响三角化后的深度值的。
下面，我们来指出三角化的误差来源有哪几方面：
a.
图像的分辨率：图像的分辨率越高，一个像素所带来的
δβ
就越小。
b.
特征点求取时的精度：是否做到亚像素，在亚像素的基础上，误差有多大？
c.
p
1
点的误差：会引起极线
l
2
的误差，从而间接地影响
p
2
点的精度。
d.
相机两次位置的平移向量
t
的大小：
t
的模的大小也代表了对极几何中的基线长度，由
公式(7)
可以看出基线长度越大，三角化的误差越小。
(3)如何减小三角化所带来的误差
根据【(2)三角化中误差的来源分析】中所分析的一些因素可知，要想减小三角化过程中引入的误差，可以有如下几个方法：
a.
选取尽可能高分辨率的相机。
b.
进行亚像素的优化（比如在极线搜索时对像素点坐标进行双线性插值）
（关于双线性插值，这篇文章做了比较清晰的讲解：http://blog.163.com/guohuanhuan_cool@126/blog/static/167614238201161525538402/）
c.
同样使用亚像素级的图像处理算法来处理p
1
点。
d.
在不丢失特征点的情况下，让平移量t尽量大。
(4)三角化所遇到的奇异情况
由上面的公式推导我们可以看出，三角化中，必须要有平移量
t
，否则无法构成三角形，进行三角化。
所以在有些单目的SLAM，AR/VR的场景中，有经验的人都会有意识地将设备或者相机进行一定量的平移，而不会在原地进行纯旋转。
