上一篇文章中，我们介绍了单目SLAM中的三角化恢复三维点深度的原理，本篇文章我们来聊一聊三角化深度值的误差分析。
目录：
(1)三角化所带来的误差的提出
(2)三角化中误差的来源分析
(3)如何减小三角化所带来的误差
(4)三角化所遇到的奇异情况
(1)三角化所带来的误差的提出
上一篇文章中，我们提到了两帧图像中的特征点坐标三角化得到空间点的三维信息。
今天，我们来分析一下三角化得到的三维信息中深度的误差。
如上图所示：
P为空间中的一个三维点，p1和p2分别为在两个位置处，摄像机观察到的投影的二维点坐标。
l2为p1在第二幅图中所对应的极线（极线的概念请参考立体视觉中的对极几何，这里不再赘述）。
现在，我们要探讨的是：
如果我们在l2进行极线搜索时，所找到的p2'点与真实的p2点有一个像素的误差，那么会给三角化后的三维点P的深度z带来多大的误差。
首先，根据上图，我们可以得到向量之间的关系，以及三角化中的两个夹角的定义：
a = p - t 公式(1)
α = arccos 公式(2)
β = arccos 公式(3)
其中，a, p, t均为向量，α和β为图中所示的两个夹角。
如果此时，我们求取的p2'点与p2点有一个像素的偏差，同时，这一个像素的偏差又会给β带来δβ的角度变化，我们利用β'来表示对β进行δβ扰动后的新的角度。
设相机的焦距为f，则：
公式(4):
公式(5):
公式(6):
至此，加入扰动后的所有新的角度我们都求出来了。
由正弦定理，我们可以得到：
公式(7):
则由第二个位置上的二维点的一个像素的误差，可能导致的三角化后深度的误差为：
δp = ||p|| - ||p'||
这里的δp其实也正是深度的一个均方差（不确定度σobs），这个不确定度是我们后面要介绍的深度滤波器的一个很重要的概念，深度滤波器的目的也正是要不断减小这个不确定度，使得深度的不确定度最后能够收敛到一个能够接受的值。
(2)三角化中误差的来源分析
上面分析了第二幅图中的特征点p2的误差是如何影响三角化后的深度值的。
下面，我们来指出三角化的误差来源有哪几方面：
a.图像的分辨率：图像的分辨率越高，一个像素所带来的δβ就越小。
b.特征点求取时的精度：是否做到亚像素，在亚像素的基础上，误差有多大？
c.p1点的误差：会引起极线l2的误差，从而间接地影响p2点的精度。
d.相机两次位置的平移向量t的大小：t的模的大小也代表了对极几何中的基线长度，由公式(7)可以看出基线长度越大，三角化的误差越小。
(3)如何减小三角化所带来的误差
根据【(2)三角化中误差的来源分析】中所分析的一些因素可知，要想减小三角化过程中引入的误差，可以有如下几个方法：
a.选取尽可能高分辨率的相机。
b.进行亚像素的优化（比如在极线搜索时对像素点坐标进行双线性插值）
（关于双线性插值，这篇文章做了比较清晰的讲解：http://blog.163.com/guohuanhuan_cool@126/blog/static/167614238201161525538402/）
c.同样使用亚像素级的图像处理算法来处理p1点。
d.在不丢失特征点的情况下，让平移量t尽量大。
(4)三角化所遇到的奇异情况
由上面的公式推导我们可以看出，三角化中，必须要有平移量t，否则无法构成三角形，进行三角化。
所以在有些单目的SLAM，AR/VR的场景中，有经验的人都会有意识地将设备或者相机进行一定量的平移，而不会在原地进行纯旋转。
总结一下，我们今天分析了三角化过程中的误差有哪些，并从理论上对误差进行了量化的推导。同时，我们还分析了如果减小三角化过程中的误差。
下一篇文章，我们将会带着大家一起分析深度滤波器的原理。敬请期待！
参考文献：
《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，电子工业出版社，2017，高翔等著。
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