选自medium
作者：Sahil Singla
机器之心编译
参与：Panda
尽管卷积神经网络成就非凡，但卷积本身并不完美，卡内基梅隆大学计算机科学博士 Sahil Singla 近日在 Medium 上发文，介绍了他对「新一类卷积」的探索研究，相关实验代码也已在文中公开。机器之心对本文进行了编译介绍。另外要注意，阅读这篇文章需要预先有一些关于 CNN 的知识储备。
卷积有很多地方不讨人喜欢。其中最大的一个问题是，大多数权重（尤其是后面层的权重）相当接近于 0。这说明大多数权重都没有学习到任何东西，对网络处理任何新信息都没有任何帮助。
所以我想对卷积运算进行修改，以便解决这个问题。这篇文章给出了我在这个方向上做出的实验以及结果。
实验 1
究其根本，每个 2D 卷积运算其实就是一个矩阵乘法运算。假设卷积的维度是（核大小，核大小，输入通道，输出通道），那么其中矩阵的维度是（核大小×核大小×输入通道，输出通道）。为了简单起见，在本文中，我们将这种矩阵称为维度为（m,n）的卷积矩阵（convolution matrix）。
如果我们可以维持该卷积矩阵的列是正交的（以可微分的方式），那么我们可以确保输出特征图（output feature map）中的每个通道都能得到不存在于任何其它特征图中的信息。更重要的是，这能帮助我们创造权重更具可解释性的神经网络。
是的，有一些不同的方法能确保这能用上一些线性代数技巧（一种是豪斯霍尔德变换（Householder transformation），另一种是（吉文斯旋转（Givens rotation））。我使用了豪斯霍尔德变换，因为这在 GPU 上的速度要快很多。
、
其中的思想如下：
我们不再保持卷积过滤器中的 m×n 个变量和偏置中的 n 个变量是可训练的，而是以另一种方式从另一个可训练的变量集中生成过滤器和偏置。
更具体一点，对于一个维度为 (m, n) 的卷积矩阵，为 m 个维度的每一个创造 n 个向量。第一个向量（比如说 v1）将会有 m-n+1 个可训练的变量（在开始时用 n-1 个 0 填充），第二个向量（比如说 v2）有 m-n+2 个 可训练的变量（用 n-2 个 0 填充），第三个（v3）则有 m-n+3 个可训练的变量（用 n-3 个 0 填充），依此类推。接下来对所有这些向量进行归一化。使用这些向量创建 n 个豪斯霍尔德矩阵（Householder matrix），按 v1*v2*v3…*vn 的顺序将向量相乘。结果得到的矩阵有 m×m 的维度而且是正交的。取该矩阵的前 n 列，那么结果得到的矩阵的大小就是 (m, n)。然后将其用作卷积矩阵。
看起来这种运算似乎很耗时间，但实际上对于一个 3x3x64x128 的卷积，意味着 576x576 大小的矩阵进行 128 次矩阵乘法运算。当这种卷积在 256×256 大小的图像上执行时，这点运算其实算不了什么（意味着会有 (256x256)x(3x3x64x128) 次翻转）。
如果你必须沿该过滤器创建一个偏置，仍然可以执行上面的流程，只是其中用 m+1 代替 m，得到的矩阵的大小为 (m+1, n)，取出最上面一行，并将其用作偏置，使用剩下的 (m, n) 矩阵作为过滤器。
如果你使用了批规范化（batch normalization），那么这个构想将没有效果，因为列正交的假设在这种情况下并不成立。
对于实验，我使用了 CIFAR-10 和类似 VGG 的架构。代码在同一个代码库中：https://github.com/singlasahil14/orthogonal-convolution/blob/master/cifar_deep.py
结果非常极其让人失望。
在训练数据上的交叉熵和准确度图表
在验证数据上的交叉熵和准确度图表
可以看到，因为在基准和正交卷积之间的所有扭曲，所以结果很糟糕。更重要的是，正交卷积所用的训练时间显著更多。下图是每次迭代所用时间（time_per_iter）的图表：
基准和正交卷积每次迭代所用时间的比较
从图中可以看到，正交卷积所用时间几乎超过 7 倍。加速这些代码的方法是存在的，但因为结果如此糟糕，我也就没有更进一步了。
我的直观感觉是，它没效果的原因是模型的优化格局遭到了严重的限制，而这又是由所有列向量必须正交的限制导致的。为了测试我的直觉，我做了下面的实验。
实验 2
对于接下来的实验，我不再使用豪斯霍尔德乘法生成的卷积权重和偏置，而是增加了另一个损失项，称为正交性损失（orthogonality loss）。正交性损失是按以下方式计算的：
使卷积矩阵的大小为 (m, n)，偏置向量的大小为 (n)，将这两个向量级联到一起，得到一个大小为 (m+1, n) 的矩阵。称这个矩阵为 M。计算这个矩阵的列式范数（column-wise norm），称之为 N（这是一个大小为 (1, n) 的矩阵）。
计算转置 (M)*M。计算转置 (N)*N。然后将两个矩阵相除。在得到的矩阵中，a(i,j) 包含了在矩阵 M 中索引 i 和 j 处的列向量之间的角的余弦。通过对该矩阵中的所有元素求平方而创造一个新矩阵。找到该矩阵中所有元素的和（除了该矩阵的迹）。为所有的卷积层进行这样的求和，我们将得到的结果值就称为正交性损失（或简称 ortho loss）。我将其与一个称为正交性权重（orthogonality weight）的超参数相乘，然后将其加入到了总体损失之中。
我使用不同的正交性权重值进行了实验：对应之前的实验中描述的卷积，我尝试了 0.1、1、10、100 和 inf。
所有不同实验的正交性损失
起始的正交性损失（没有乘权重）大约为 40。这比交叉熵本身还大得多。然而网络学会了在几次迭代之内就使其接近于 0。
从上图中可以看到，该网络非常快地就学会了保持该卷积矩阵中的所有列向量正交。当正交性权重被设置为 0 时，正交性损失会不断增大；而在其它情况下（0.1、1、10、100），它会达到接近 0 的值。这意味着如果我们添加加权的正交损失，由该卷积矩阵学习到的权重确实是正交的。
在训练数据上的交叉熵和准确度
如上图所示，随着正交性权重越来越大，网络训练的难度也越来越大。
在验证数据上的交叉熵和准确度
但该网络得到的验证准确度/交叉熵却很接近正交性损失为 0 的情况。又再一次失望了，我还希望结果会更好呢。但至少比前面的结果好。
接下来，为了更进一步观察，我决定仅给出正交性权重为 0 和 0.1 的情况。
在训练数据上的交叉熵和准确度
在验证数据上的交叉熵和准确度
可以看到，这两个网络都收敛到了同样的验证交叉熵和准确度。而且正交性权重为 0 时，网络的训练交叉熵要高一点。这差不多说明增加正交性权重可以让网络有更好的泛化能力（更高的训练损失，但同样的验证损失）。
接下来，为了测试这种泛化能力是否适用于其它数据集，我决定使用 CIFAR-100 进行同样的实验。
在训练数据上的交叉熵、准确度和正交性损失
在验证数据上的交叉熵和准确度
这些结果确实也对 CIFAR-100 有效。更重要的是，我们可以看到使用 0.1 正交性权重的网络与使用 0 正交性权重的网络的验证准确度是一样的。而在正交性损失比较图中可以看到，使用 0.1 正交性权重的网络学习的是该卷积矩阵中的正交列。
实验 3
接下来，受这些结果的启发，我决定为循环神经网络也尝试一下同样的思想。使用这里的代码：https://github.com/singlasahil14/char-rnn，并且在未特别指出时都使用默认架构，我决定实验一下给 LSTM 加入正交归一性损失（orthonormality loss）会怎样。注意：正交归一性损失=sum_square(I-transpose(M)*M)，其中 M 是 hidden to hidden 状态矩阵。而且它和正交性损失（orthogonality loss）不同——这种情况下我们并不关心所有列的范数是否都为 1。
下面是实验结果（我为正交归一性损失尝试了不同的权重：0.001、0.0001、0.00001、0.000001、0.0000001、0）：
网络训练了 20 epoch 后的交叉熵和正交归一性损失
同样，在我们降低正交归一性权重时，交叉熵下降得更快。接下来，为了比较两个最佳模型的正交归一性权重，我决定拿出其中权重为 0 和 0.0000001 时的交叉熵和正交归一性损失值。
在两种权重（0 和 0.0000001）设置下，网络训练了 20 epoch 后的交叉熵和正交归一性损失
同样差别不大，但它和基准结果差不多。
结论
从这个小项目中，我学习到的最重要的一件事是神经网络是极其复杂的。即使看起来似乎很好的方法也可能会失败，因为当大多数人有一个想法时，他们只是想到了网络最终训练好的状态（就像我一样，我想要矩阵的列是正交的）。但如果你想到网络必须通过一个路径才能优化，那么大多数好想法就立马显得蠢笨了（就像我的这个例子，很显然，在实验 1 中，我严格限制了模型可以选择的路径）。
另外，我也尝试进行了一些非标准的（我自己发明的）调整，想让该网络的表现超过基准。但没有一种调整有效。实际上，能成功重现基准结果就已经让我很开心了，尽管我增加了一个比交叉熵本身更大的损失项。
我也为图像分割进行了同样的实验。结果也相似。这里就不过多提及了。
我也相信这项研究有助于更好地可视化卷积层中的权重。这是我接下来会探索的方向。
本博客中提及的所有实验都可以使用下面的代码库重现：
原文链接：https://medium.com/towards-data-science/experiments-with-a-new-kind-of-convolution-dfe603262e4c
本文为机器之心编译，转载请联系本公众号获得授权。
✄------------------------------------------------
加入机器之心（全职记者/实习生）：[email protected]
投稿或寻求报道：[email protected]
广告&商务合作：[email protected]
