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一道中考填空题，需要这样做吗？ | 「我想说」

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2021-01-29 07:53

正文

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作者 | 孙志跃，郑韫瑜

2020年某市一道中考数学填空题题目如下：

如图1所示，将一个半径 cm，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上，在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点运动的路线长为 cm。（计算结果不取近似值）

图1

这是一道滚动动点轨迹探究问题，综合性较强。以往中考中的滚动问题大多是多边形的滚动问题，比如正方形的滚动，此题以扇形作为滚动图形加以命题，具有一定的创新性。但仔细研究此题，发现解答该题所需的知识已超出中学所学知识范围，远非初中生所能解答。本文希望与大家一起来分析此题的解答过程，同时，针对这类问题，如果要合理运用初中知识解决这类问题，需要怎样改进？

分析与解 ：如图2，点的运动轨迹可以分为四段，第一段是扇形绕点转动至平行于射线时，此时点的运动轨迹是以点为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，即。

其弧长

图2

第二段是扇形由平行于射线滚动至垂直于射线时，此时点的运动轨迹不是一条常规曲线，这也是本题的困难所在。根据先易后难的原则，我们先来分析第三段和第四段的运动轨迹。

显然，第三段和第四段也都是圆弧，即图2中的和，它们分别是以点为圆心，长为半径转动的圆弧，和以点为圆心，长为半径转动的圆弧，其弧长。

最后，我们再来分析第二段，即曲线，因为它不是一条常规曲线，所以要想计算其长度，我们只能先设法先求出其方程。

如图3，当扇形的弧在水平面上滚动时，始终与水平面相切。假设扇形滚动到扇形的位置时，切点为，连接，则。设，这里的单位我们用弧度表示，且，此时的弧长= ，。

图3

以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则。

过点作于点，则

设，因为是的中点，所以

即点的轨迹方程为：

其中。

根据定积分的有关知识，可得到第二段曲线的长为：

最后的结果是一个椭圆积分，没有初等解。

综上，点P运动的路线长为：

从以上解答过程可以看出，第一段、第三段和第四段曲线都是四分之一圆弧，用初中学过的弧长公式即可算出其长度，第二段曲线则是一条非常规曲线，需要先求出其参数方程，然后运用大学里面有关定积分的知识进行求解。

网上有一个解答的答案是，他把第二段轨迹认为是扇形的弧的长的一半，理由是因为点为半径中点。

还有一个解答的答案是

，他认为第二段轨迹是一条线段，这未免有点草率。数学是一门严谨的学科，任何不经过细致的演算，而想当然的态度都可能招致错误的结论。

从命题者的角度考虑，我们能否对该题进行适当改进，使之能够用初中知识解决呢？

首先，我们想到将动点改为动点或的运动问题。

如果将动点改为动点的运动问题，那么在分析第二段运动轨迹时，同样出现超纲的情况。因为此时涉及到圆上的点的滚动问题，它的轨迹是一条摆线，摆线的参数方程是要到高中才学习的知识。

如果将动点改为动点的运动问题，那么第二段的运动轨迹为一条线段，完全在初中学生的理解范围内。因此，我们对本题做如下改进和解答。

改进：如图4所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上，在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至

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