世界首例 ！Comsol有限元仿真在力学领域迎来突破性进展！天才博士连发Nature打开仿真领域百年格局！

深度学习与流体力学的学科交叉正不断扩展科研的边界。在工业领域，例如航天航空、海洋船舶和能源动力等行业，存在许多亟待解决的流体控制与优化设计难题。流体力学问题的主要特点包括高维度、强非线性和数据量大。近年来，深度学习技术因其数据驱动的特性和处理高维复杂问题的能力，已在流体力学领域取得了一定的应用，而且获了主流期刊比如《Nature》和《Science》杂志的认可。

传统的流体力学模拟方法在应对高 耦合度 和非线性问题时面临诸多限制，而深度学习技术为流体力学提供了新的思路和方法。这主要集中在：基于流体力学控制方程的辅助求解，流场重构等正问题；控制方程系数等特征量提取等逆问题。通过结构化的神经网络支起完备的解空间，这一技术可以根据外部实验测量数据、物理控制方程、初边界条件等辅助信息寻找问题准确的解函数。同时，不同的神经网络结构提供了更为广阔的灵活性以及功能性，为解决复杂流动问题提供了创新的解决方案，提升了流体动力学仿真的精度与效率，推动了流场优化和控制，以及对复杂流动现象的深入理解。

课程一、 深度学习流体力学

课程二、深度学习固体力学

课程三、 深度学习在岩土工程中的应用与实践

从流体力学基础，流体力学仿真基础以及流体力学&深度学习基础，层层递进，深入浅出，最终从代码层级一站式打通从流体力学理论到问题解决的整个流程。本课程注重学科基础和数值建模框架，不仅提供代码上的实操支持，而且从物理层面给出仿真结果的物理解释，适合初学者进阶。课程结合前沿论文，讲解论文论述框架，瞄准当下热点难点。最后，依托所课程内容，提供该主题下论文结构性和系统性撰写方式。

培养流体力学和深度学习的建模能力

●课程注重学科基础和科学建模方案，涵盖多物理场耦合问题和控制方程构建，以及问题简化的物理依据。结合控制方程，将问题从复杂到简单，最终在CAE训练中感受如何抓住主要矛盾，精简问题结论；

l课程注重深度学习基础理论，培养从0到1的神经网络建模过程，从原理上理解神经网络，从代码上实现神经网络；

●学习深度学习在流体力学中的应用，比较经典解法和深度学习解法。培养精通流体力学与深度学习的复合型人才，为解决流体力学问题提供另一种范式。

理论与实践并重

●从工程师培养的角度，培养简化问题的能力；

●简化软件上手难度，定位软件或代码为服务于问题的工具；

●手把手教学CFD建模，使用如COMSOL Multiphysics，Ansys Fluent，OpenFOAM 等建模软件，并同步展示控制方程，理解操作的底层逻辑。

追踪前沿动态

●分析国际团队最新研究成果，以探索深度学习在流体力学中的发展趋势；

●拓展学员拥有国际视野，加强与国际同行的交流合作；

●积极鼓励学员在流体力学与深度学习间寻找创新交叉点，跟踪前沿研究。

第一天：流体力学复习

张量基础

拉格朗日描述和欧拉描述

基于连续介质力学的运动学描述

雷诺输运方程

欧拉描述下的主守恒方程：质量、动量、 角动量守恒

几类简化流体问题举例 (Navi-Stocks方程简化)

●不可压/可压流体问题

●定常流体问题

●无黏流体问题

●二维流体问题

能量守恒定律与热力学基础

●能量守恒定律

● 热力学第二定律 及自由能

量纲分析简介

第二天：流体力学仿真

案例解析

●流体耦合问题

●热流耦合问题

●物质输运

●离子输运问题

●多孔材料的流固耦合

流体力学计算方法

●有限体积法

●时间差分算法

●有限元法

■对流问题中的稳定性方法举例

第三天：流体力学实操

COMSOL Multiphysics, OpenFOAM, Ansys Fluent流体力学实操

●单相流

●非等热流以及共轭传热

●稀物质输运

●基于相场法的二相流问题

●多孔材料的流固耦合

●流固耦合-动网格法

●离子输运问题

图表 2 速度大小剖面云图以及流线图

图表 3 压力场

图表 4 灯丝热作用下灯泡内气体的运动

第四天

神经网络基础回顾：感知机、多层感知机

神经网络基本结构：激活函数、损失函数、优化算法

神经网络训练技巧：mini-batch，正则化，dropout

结构化神经网络

●卷积神经网络

●循环神经网络

●物理信息神经网络

●傅里叶神经网络

实操：

●神经网络的代码实现 (Matlab, Python)

●训练技巧演示 (Matlab)

●参数更新算法演示 (Matlab)

●图表 5 神经网络结构示意图

●图表 6 物理信息神经网络处理NS方程

图表 7 神经网络训练早停技巧

第五天

流体力学&深度学习实战：

●CNN在流场预测中的应用 (Python实操)

●CNN提取流场出流速、压力、涡旋等特征 (Python实操)

●LSTM 模型在流场时间序列预测中的应用 (Python实操)

●U-Net结构应用于流场预测、重构、优化 (Python实操)

图表 8 有限差分方法和 PINN 方法对热场分布预测效果对比

图表 9 傅里叶神经网络算子

●图表 10  U-Net 卷积神经网络架构

●PINN实操 (Python)：

■PINN预测常微分方程的响应

■2D热传导

■Burger方程

■圆柱绕流问题

■使用PINN模型求解稳态和非稳态流动问题

●iPINN实操案例：

■数据驱动的iPINN常微分方程逆问题求解

■数据驱动的iPINN偏微分方程逆向问题求解

●论文导读

nLino M, Fotiadis S, Bharath A A, et al. Current and emerging deep-learning methods for the simulation of fluid dynamics[J]. Proceedings of the Royal Society A, 2023, 479(2275): 20230058.

nPeng W, Qin S, Yang S, et al. Fourier neural operator for real-time simulation of 3D dynamic urban microclimate[J]. Building and Environment, 2024, 248: 111063.

●图表 11 2D圆柱绕流中重构流场和精确解对比

图表 12 Physics-Informed Machine Learning in Fluid Mechanics

该位主讲老师来自于国内985高校实验室，毕业于国内顶尖的985工程院校和海外名校，和多个公司有深度学习流体力学横向项目上的合作。纵向方面，专业领域涵盖流体力学和多物理场流场耦合问题。老师拥有丰富的仿真经验和培训经验，熟练使用如COMSOL Multiphysics，Ansys Fluent，OpenFOAM 等建模软件。老师在该领域同样拥有多年研究经验，发表子刊、SCI论文多篇。擅长深度学习建模研究，流体力学中的深度学习方法，数据驱动的计算力学，有限元方法，有限差分法，有限体积法，CFD，并广泛应用于解决流体力学和多物理场仿真挑战中。在深度学习方面，研究重点包括长短记忆神经网络 (LSTM)、卷积神经网络 (CNN)，以及物理信息神经网络 (Physics-informed neural networks)等。

图表 1物理信息神经网络示意图 (Karniadakis et al., 2021)

固体力学主要研究固体材料在外界力场、或者其他物理场作用下发生的变形和稳定性等特性，其理论和方法广泛应用于工程、材料科学、机械设计、建筑结构等领域。机器学习 (Machine Learning)，特别是深度学习 (Deep Learning) 技术，在固体力学领域展现出了巨大潜力。尽管偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs) 数值离散化来模拟多物理问题方面取得了巨大进展，但是网格生复杂、方程包含对历史卷积以及非线性行为、含噪声数据无法整合到逆问题算法等困难依然突出。机器学习已经成为一种有前途的替代方案。深度神经网络已经可以解决部分低维度的简单问题，但是训练深度神经网络需要大数据。更进一步，物理信息神经网络可以通过添加物理定律约束获得的额外信息。为正向和逆向问题带来了的更多的可能性，提高了神经网络的准确性、带来了更快的训练和改进的泛化能力。通过引入人工智能方法，可探索固体力学领域在机器学习加持下的“老树开新花”。

以问题为导向，提升解决问题的能力

培养批判性思维，提供从0到1的路径自我修正能力

１. 培养从0到1建模能力： 本课程注重学科基础能力和科学建模方案。在线弹性基础上进一步扩展到多物理场耦合问题，学习多场耦合问题的新提法以及控制方程的构建。课程通过是实操案例对实际现象进行简化处理，提取主要矛盾后建立控制方程，并通过无量纲化减少系统参数，精准揭示现象的演化规律和主导因素。课程注重培养问题从0到1的建模过程，对比经典解法和深度学习解法，探究深度学习在固体力学和多物理场仿真中的前景和局限。

２. 培养学科交叉能力： 本课程旨在培养既精通固体力学学基本提法与多物理场仿真基础方案，又熟练掌握机器学习算法与深度学习技术的复合型人才。学员将深入固体力学和多物理场仿真的时空动态规律，同时精通神经网络、优化算法等关键技术，能够创新性地设计并实施多物理场模型，优化预测精度与效率。

３. 展现机器学习优势： 通过对比分析，课程将深刻揭示机器学习在多物理场偏微分方程中相较于传统模型的显著优势，包括更强的解拟合能力、更高效的数据处理速度以及更广阔的适用场景。探讨其在应力应变估算、结构设计评估、参数反演策略优化等方面的最新研究进展与广阔应用前景。

４. 实战案例分析： 通过深入分析机器学习在固体力学和多物理场仿真稳态，瞬态等预测中的具体应用案例，如质量阻尼弹簧的位移预测，超弹性材料本构模型，相场法断裂深度学习算法。使学员直观感受其在实际问题解决中深度学习的强大威力与显著成效。这些案例将帮助学员构建理论与实践之间的桥梁，提升解决实际问题的能力。

５. 追踪领域前沿动态： 课程将引入国际上的最新研究成果与前沿动态，详细介绍机器学习在固体力学和多物理场仿真领域的最新发展态势，包括新型算法的研发、大规模数据集的应用、以及跨学科合作的新模式。旨在激发学员的创新灵感，鼓励他们探索新技术、新方法，推动固体力学和多物理场仿真往更加智能化、自动化、精准化的方向发展。

６. 拓宽国际视野，促进跨学科合作： 拓宽学员的国际视野，促进他们与国际同行的交流与合作。同时，强调跨学科整合的重要性，鼓励学员在固体力学、机器学习、数据科学等领域之间寻找交叉点，开展创新性研究，为解决全球固体力学建模的挑战贡献智慧与力量。

Day 1: 固体力学复习

第一天：弹性力学复习

课程目标：

复习基础弹性力学，穿插学习大变形下的新定义

复习适定的弹性问题 (well-posed problem)

学习构建强弱形式并使用软件实现

Day 1-1

变形与变形梯度：仿射变形假设

应变张量：小变形假设，大变形 (Lagrangian应变)

应力张量：小变形下应力张量，柯西应力，PK1应力，PK2应力

实操案例：分析法计算应变

图表 2 连续体变形示意图

图表 3 不同应力定义中使用的等效关系

Day 1-2

雷诺输运方程

主守恒方程

质量守恒方程

动量守恒方程

角动量守恒方程

热力学第一定律

线弹性本构关系

超弹性本构关系

超弹性问题的强形式与弱形式

实操案例：线弹性问题的软件/代码实现

工具方法

Python基础以及查询方法

ChatGPT和Github Copilot辅助工具

Day 2: 高等弹性力学与多场耦合

课程目标：

学习高等弹性力学以及其他多物理场问题的提法

学习线性/非线性粘弹性问题

其他复杂物理场：相场法断裂，传热，扩散问题

图表 4 多物理场耦合问题

Day 2-1

热力学第二定律

熵与自由能

孤立系统、封闭系统、开系统热力学描述

自由能

统计力学简介

高分子链熵弹性模型

超弹性问题处理流程

热力耦合问题

热-化学-力学耦合问题

断裂力学简介

相场法断裂问题

图表 5: 明锐边界与断裂相场法的扩散边界

图表 6 断裂相场法对称三点弯测试中的裂纹扩展

Day 2-2

 有限元方法简介

 COMSOL Multiphysics 教学

 稳态分析

 特征值分析

 模态分析

 时域分析频域分析

Day 3: 量纲分析和神经网络概述

课程目标：

学习量纲分析

了解神经网络，了解神经网络的类型

了解神经网络的结构和应用

Day 3-1

量纲分析介绍

量纲分析流程

量纲分析举例：单摆的周期，液滴的振动，液体表面张力测量

Day 3-2

感知机和神经网络

神经网络结构

神经网络的基本构建模块及其功能，如神经元、层、激活函数等核心组成部分。

正反向传播

参数迭代算法

深度学习技巧

权重初值，早停，正则化，Dropout

Day 4: PINNs的正逆问题

课程目标：

认识循环神经网络和物理信息神经网络

学习PINN解偏微分方程的方法原理

学习区分正问题、逆问题，并了解两种问题的处理方法

Day 4-1

递归神经网络(Recurrent Neural Networks, RNN)

长短时记忆网络(Long Short-Term Memory, LSTM)

实操： 神经网络模仿卷积算子

Day 4-2

PINN内容概述

介绍物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks，PINN）基本概念，以及作为神经网络新兴方法分支的独特之处。

PINN方法原理

重点讲解PINN解偏微分方程的方法原理，讲解在解决具有复杂约束的工程问题时如何构建一个能够同时满足真实数据条件、初值条件、偏微分方程结构以及边界条件的多约束损失函数。

PINN的正问题和逆问题的构建

实操案例：PINN预测阻尼常微分方程的响应以及参数逆向算法

实操案例：1D, 2D热传导方程的PINNs方法求解

Day 5:论文复现

课程目标：

根据前期所学习的量纲分析和多物理场仿真问题，建立从0到1构建案例的操作流程

论文 (Flaschel et al., 2021)

Unsupervised discovery of interpretable hyperelastic constitutive laws.

图表 7具有物理意义的超弹性本构搜索的无监督算法示意图

论文 (Manav et al., 2024)

Phase-field modeling of fracture with physics-informed deep learning.

图表 8 对比神经网络和有限元分析获得的L形板的位移和相位场

论文 (Marino et al., 2023)

Automated identification of linear viscoelastic constitutive laws with EUCLID

图表 9 Comparison of true and identified response functions ordered as: shear loss, shear storage, bulk loss, bulk storage (row-wise from left to right) and with increasing number of clusters from 1 to 5 (column-wise from top to bottom) for the noise-free case.

课程总结展望

课程复习，根据案例提取深度学习处理固体力学问题的标准流程

机器学习与深度学习在固体力学领域的前景和局限

推荐学习资源 (在线课程、书籍、论文) 与进阶方向

参考文献

Flaschel, M., Kumar, S., & De Lorenzis, L. (2021). Unsupervised discovery of interpretable hyperelastic constitutive laws. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 381, 113852. https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.113852

Karniadakis, G. E., Kevrekidis, I. G., Lu, L., Perdikaris, P., Wang, S., & Yang, L. (2021). Physics-informed machine learning. Nature Reviews Physics, 3(6), 422–440. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00314-5

Manav, M., Molinaro, R., Mishra, S., & De Lorenzis, L. (2024). Phase-field modeling of fracture with physics-informed deep learning. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 429, 117104. https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117104

Marino, E., Flaschel, M., Kumar, S., & De Lorenzis, L. (2023). Automated identification of linear viscoelastic constitutive laws with EUCLID. MechanicsofMaterials,181,104643. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2023.104643