今天分享2025年北京西城区高三期末的第 21（3）题．本题重点是估计两个集合元素个数之间的大小关系．

题目

解答

【Fiddie】

前两问都比较简单，第（2）问先用不等式及整数的离散性可求通项公式，然后用所得数列的奇偶性来证明即可，冲击 140+ 的学生应该确保拿下前两问．下面只解答第（3）问．

由 的排列组成的数列要么具有性质 ，要么不具有性质 ．

记 为所有具有性质 的数列构成的集合， 为所有不具有性质 的数列构成的集合．

则 等价于 ．

证明集合基数（即元素个数）的不等关系，关键在于能够找到一个单射 ．这样就能说明 ．

而如果 不是满射，则 ．

从不具有性质 的数列构造出具有性质 的数列是比较直接的，比如我们可以交换两个数列的位置即可．

当然还有一些别的尝试思路，下面对取值为 的 项数列 进行变换的思路可能会用在不同的问题中：

• 交换其中两项；
• 将第一项移到最后一项，其余项往前移一项，即 , , , 变成 , , , , ；
• 用 减去所有项得到数列 , , ,
  【注】 如果 是 的排列时很好用；
• 将某项减去 2，相邻的两项加上 1 得到一个数列；
  【注】 处理不等式时很好用．
• ……

这些构造方法都是依靠读者广泛见识各种不同的题目才能总结而来的．

若 ，则存在 使得 ．

我们定义映射 为 将 中的 与 的位置进行交换后所得到的数列 ：

这样， 具有性质 ，即 ，于是我们给出的映射 是良好定义的(well-defined)．

下面证明 是单射： 【Fiddie】

即证明：如果有两个数列 ， 满足 ，则 ．

事实上，假设 满足 ，

满足 ，

则

设 ，分两种情况讨论．

若 ，则 ，，，，其余分量都相同（即当 时，），则

于是 ，这与 矛盾．

因此 ，则 ，，，，，，，，，所以 ．于是 是单射．

**下面证明 不是满射：  ** 【Fiddie】

考虑数列 ．

则 ．当 时， ．

将 与 交换后得到数列 ，在数列 中，满足 的正整数 的个数变成 ，而 ，所以 ，即依然存在 使得 ．

所以 ．也就是说，不存在 使得 ．从而 不是满射．

综上所述， ．

说明

设 是有限集．

若 是单射，则 ．

若 是满射，则 ．

所以，证明 只需构造一个单而不满的映射 ．

证明 只需构造一个满而不单的映射 ．

证明 只需构造一个既单又满的映射 ．

补充练习

该题理科得分率为 0.10，相关系数（区分度）为 0.60．

参考答案