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42，一点都不乏味

好玩的数学  · 公众号  · 数学  · 2019-08-31 09:09

正文

作者 | 伊恩•斯图尔特（Ian Stewart）
来源 | 节选自《不可思议的数》，人民邮电出版社/图灵新知，2019.8。


▌42，一点都不乏味
我曾说过， 这个数在道格拉斯·亚当斯的《银河系搭车客指南》里很重要，它是“关于生命、宇宙以及一切之终极问题”的答案。这 一发现马上产生了一个新问题：什么才是真正的关于生命、宇宙和所有一切之终极问题？亚当斯说，他选择这个数是因为，他快速地问了一圈朋友们，大家都认为 是最乏味的。

在此，我想保护 不受这样的诽谤。就数学意义而言 ， 毫无疑问无法和 、 ， 甚至是 相提并论。然而，它也并不是完全无趣的 。 是普洛尼克数、卡塔兰数，也是最小的魔方幻方常数。当然，它还有一些其他特点。

▌普洛尼克数
所谓普洛尼克数（也叫长方形数、矩形数或 heteromecic 数）是指两个连续整数的积，因此它的形式是 。当 时，我们可以得到 。 由于第 个三角形数是 ，所以普洛尼克数是三角形数的 倍。它还是前 个偶数之和。数量是普洛尼克数的点可以排列成一个矩形，这种矩形的一条边比另一条边大 （ 图 171）。

图 171 前 6 个普洛尼克数。阴影部分表示它们为什么是三角形数的 2 倍

这里有一个关于高斯的故事，在他还很年轻的时候，被老师要求完成一个一般形式的问题
很快发现，如果相同的和式以递减的顺序写出来，即
其相应的数对之和都等 于 。 因为有 对这样的数对，所以它们的总和为 ， 这是一个普洛尼克数。老师提出的问题的答案是这个数的一半，即 。 然而，我们实际上并不知道高斯的老师在课上提出的问题到底是什么，它有可能更难。如果是这样的话，那么高斯就更聪明了。

▌第 个卡塔兰数
卡塔兰数出现在许多不同的组合问题里，所谓组合问题是指对各种数学任务的完成方法进行计数。这个问题可以追溯到欧拉，他计数了一个多边形可以分割成多少种顶点相接的三角形。后来，欧仁·卡塔兰发现了这类问题和代数之间的联系：在加法或乘法算式里插入括号的方法有多少种。我很快就会做解释，但首先让我先介绍一下这类数。

对 n = 0, 1, 2,…而言，前几个卡塔兰数 是
利用阶乘可以得到如下公式：
当 比较大时，它还有一个很好的近似公式：
这又是一个在看似和圆或球体无关的问题里出现了 的例子。

是把正 边形分割成三角形的不同方法的数量（图 172）。

图 172 把六边形分割成三角形的 14 种方法

它也是生成有 片叶子的二叉树的数量。二叉树源于一个根节点， 然后从这个节点开始向两边分枝。每个分枝都以点或叶子结束。每个点必须继续分出两枝（图 173）。
图 173 5 棵有 4 片叶子二叉树
如果你觉得这个想法有点难懂，那么它和代数还有一个更直接的联系——计算在加法或乘法算式中插入括号的方法的总数，例如对 abcd 而言， 有C 5 种可能：
一般而言 ， 个符号有 种插入括号的方法。为了搞明白其中的联系， 我们可以把这些符号顺次填在树的叶子上。如果一对叶子有相同的节点，那么就插入括号。如图 174 所示，我们先从左往右把 片叶子标上 、 、 、 。 然后，从下往上在连接 和 的节点旁标记 。 它上面的节点连接了 和标记为 的节点，因此新的节点对应于 。 最后，顶上的节点连接了 和 ， 因此，它是 。


图 174 把二叉有根树转化成代数

许多其他的组合问题也会出现卡塔兰数；以上是最容易描述的一小部分。

▌魔方
一个 魔方的幻方常数是 。 这样的魔方包含了 每个数各一次，平行于棱边的每行或经过中心的对角线中的数之和是相等的——这个和被称为幻方常数。所有 个数之和是 。 这些数可以被分成 组不相交的三元组，而每个三元组相加后可以得到幻方常数，因此幻方常数必须是 。

这样的排列是存在的，图 175 就是一个例子。

图 175 魔方的连续三层

▌其他特点
■ 是分拆 的不同方法的数量，拆分需按自然顺序把数写成整数之和，如
■ 是第二个楔形数，所谓楔形数是指 个不同质数之积。在这里 ， 。 前几个楔形数分别是

■ 是第三个 边形数，它和三角形数类似，但基于的是正 边形。


■ 是超级多重完全数：除数之和的除数之和（包括 ） ，这样重复 次之后的数字等于自己。


■ 在一段时期内 ， 是已知最好的 的无理性度量值，即精确量化 有多“无理”的一种方法。特别是库尔特·马勒在 1953 年证明了对任意有理数 而言，有
不过，V. 卡·萨利科夫在 2008 年将 修订成 ， 因此 在这里又变回了无趣。


■






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