一个世纪以来，看似简单的数学问题取得了重大进展

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-10-30 11:30

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关于质数的新证明阐明了加法和乘法之间的微妙关系，并为著名的abc猜想取得进展带来了希望。

加法和乘法都是相对简单的运算。但当两者结合起来时，就会引出数学家仍在努力理解的深刻问题。

图源：Samuel Velasco / Quanta Magazine

去年11月的一个早上，数学家赫克托·帕斯滕 (Hector Pasten）终于通过使用一种经过时间考验的生产力技巧，解决了困扰他十多年的问题：拖延症。

他本来要为圣地亚哥智利天主教大学的数论课程撰写期末考试试卷。为了避免这项任务，他无数次地开始思考他最喜欢的数列之一：2、5、10、17、26…，即所有形式为n² + 1（其中n是整数）的数列。

一个多世纪以来，数学家一直在使用这个数列来探索加法和乘法之间令人担忧的关系，而这是数论核心的张力。一旦涉及加法，关于乘法的基本问题——比如数字如何分解为质数——突然变得更加深刻和更具挑战性。例如，数学中最大的悬而未决的问题之一是，是否每个大于 2 的偶数都是两个质数之和（即哥德巴赫猜想）？另一个问题是，是否存在无限多只相差 2 的质数对（例如11和13，即孪生质数猜想）。

n² + 1 数列为研究加法和乘法之间的关系提供了一个很好的起点，因为它结合了最简单的乘法类型之一（对数字进行平方）和最简单的加法类型之一（加 1）。这并不意味着数列本身很简单。数学家仍然无法回答关于它的基本问题，例如它是否包含无限多个质数。“到达我们知识的边界并不远，”蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说。当数学家成功稍微改进一下这个界限时，他们开发的技术通常会阐明有关加法和乘法的更广泛的问题。

帕斯滕试图证明该数列中的数字一定始终至少有一个相当大的质因数。在他应该给期末考试出题的那天早上，他终于成功了，方法是通过弄清楚如何将有关n² + 1 质因数的信息嵌入到称为椭圆曲线的方程结构中。

那天午餐时，他向他的妻子、数学家纳塔莉亚·加西亚·弗里茨（Natalia Garcia-Fritz）描述了他的证明。鉴于他的结果令人惊讶，她“告诉我，我可能应该多检查几次，”帕斯滕说。“那天下午我这样做了，定理仍然成立。”

图源：Natalia Garcia-Fritz

赫克托·帕斯滕 (Hector Pasten) 花了十多年的时间试图解决加法和乘法交界的数学问题。当他决定推迟为他的一门课程出期末考试题时，他终于成功了。只有一个问题：帕斯滕没有给他的学生考试。相反，他让学生们就他们想要的任何主题写一篇文章。“事实证明，这带来了非常高质量的工作，”他说。

帕斯滕将他的证明提交给了数学界最著名的期刊之一《数学新进展 Inventiones Mathematicae》，该证明仅用了一个多月的时间就被接受了——按照该领域通常的出版标准，简直就是一眨眼的功夫。滑铁卢大学的卡梅伦·斯图尔特（Cameron Stewart）表示：“对于近100年来都没有取得太大进展的事物来说，这是一个可爱的进步。”数学家希望它也能转化为相关数列的进展。

帕斯滕的技术还使他能够在abc猜想的某些情况下取得进展，这是另一个涉及加法和乘法之间相互作用的问题，也是数学中最著名且最具争议的未解难题之一。“这一领域的新（且正确）想法很少，”格兰维尔在一封电子邮件中写道。“他的方法的独创性和前景值得广泛关注。”

大质数

如果一个数列变得越来越大，并不能保证它们的最大质因数也会发生同样的情况。例如数列n² — 数字 1、4、9、16….。在这个数列中很容易找到质因数很小的数字。例如，此列表中的任何2的幂（4、16、64、256、1024…）只有一个质因数：2。

但帕斯滕说，当你把这个数列都加上1时，“你就完全破坏了你所拥有的所有有关质因数的信息”。“质数的行为方式非常疯狂。”

1898年，Carl Størmer（卡尔·斯特默，1874-1957）证明：与n²数列不同， n² + 1 数列中数字的最大质因数随着n变大而接近无穷大。斯图尔特说，这一发现表明“一些有趣的事情正在发生，一些不寻常的事情正在发生”。

但 Størmer 无法计算出n² + 1 的最大质因数增长的速度——这是表征数列行为自然而然的下一步。

如果你开始计算数列中的数字，大多数数字似乎至少有一个非常大的质因数。但偶尔也会出现大幅下滑。例如，数列中的一个数字 586,034,187,508,450，有一个质因数 67,749,617,053。但数列中下一个数字 586,034,235,924,737 的最大质因数仅为 89。正是这些例外使问题变得困难。

在1930年代中期，Sarvadaman Chowla（萨瓦达马南·乔拉，1907-1995）和 Kurt Mahler （库尔特·马勒，1903-1988）独立地证明，对于任何n值， n² + 1 的最大质因数必须始终至少为log(log n)。但 log(log n ) 的增长速度极其缓慢 — 如果将其绘制成图表，肉眼看起来会很平坦。数学家怀疑n² + 1 的最大质因数实际上增长得更快。但他们无法证明这一点。

图源：从上至下：MFO；由Shelby White和Leon Levy档案中心提供。

在20世纪30年代中期，数学家库尔特·马勒（上图上）和萨瓦达马南·乔拉（上图下）独立地证明了数列中最大质因数增长速度的一个界限。新的研究标志着对他们成果的首个重大改进。

2001年，香港科技大学的 Stewart（斯图尔特）和Kunrui Yu（於坤瑞）使用称为超越理论的数学领域，开发了一种研究数列质因数的新方法。两年后，Julien Haristoy 弄清楚了如何将他们的方法应用于n² + 1 数列，相较于 Chowla 和 Mahler 的结果取得了小小的改进。

但从那时起，这个课题就陷入了僵局。“我们长期以来一直需要一种新成分，”格兰维尔说。

小指数

帕斯滕十多年来一直致力于培育这种新成分。2012年，当他还是安大略省金斯顿女王大学的研究生时，他的导师Ram Murty建议他重点研究探索加法和乘法之间相互作用的问题。

数论学家研究这种相互作用的最有效工具之一是将数字编码成一种称为椭圆曲线的方程。例如，你的数字可能会显示为方程的解，或者出现在称为判别式（discriminant）的相关计算中。通过正确的编码，数学家可以利用椭圆曲线的丰富结构，并利用称为模形式的相关数学对象。巴黎西岱大学的Marc Hindry 表示：“每当你引入这些模形式时，就会带来大量信息，因为它们有一个完整的精彩理论。”

多年来，帕斯滕发展了一种涉及模形式和相关实体（称为志村曲线 Shimura curve）的新理论，这使他能够解决Murty向他提出的许多问题。“但我在n² + 1 问题上没能取得任何进展，绝对没有，”他说。“这困扰了我很多年。”

11月的早上，当帕斯滕应该出试题时， n² + 1 问题代表着多种逃避方式。那年早些时候，他的父亲去世了，帕斯滕转向数学寻求安慰。“我发现数学对此非常有帮助，”他说。“数学不仅仅是证明定理——也许它是一种与现实互动的方式。”

直接控制n² + 1 数列的质因数似乎太难了，因此帕斯滕很早就将目光投向了更间接的进攻：控制质因数分解中的指数。如果你要对一个大数进行因式分解，它可能由小质数的大指数（次方）组成，或由大质数的小指数组成。但它不能由小质数的小指数组成——这样就无法得到足够大的数字。因此，如果你能证明指数很小，那么至少有一个质数一定很大，这正是帕斯滕想要证明的。

当帕斯滕盯着前一天黑板上的一些计算时，他突然意识到，他也许可以通过创建正确的椭圆曲线来控制n² + 1 素因式分解中的指数。经过一番实验，他发现了一个方程y² = x³ + 3x + 2n ，其判别式为n² + 1 乘以一个 -108的因子。

将他的志村曲线理论应用于这个特定的椭圆曲线，他可以证明n² + 1中的指数的乘积必须相当小。这并不一定意味着所有指数都必须很小，但这给了他足够的控制权，以便能够从超越理论中引入斯图尔特和於坤瑞的旧方法。通过结合使用这两种技术，他能够证明n² + 1 的最大质因数必须至少约为 log²(log n) — 即Chowla 和 Mahler 在1930年代发现的估计值的平方。帕斯滕的新增长率远高于之前的记录，尽管数学家怀疑真正的增长率仍然更高。

即便如此，“这仍然是一个显著的进步，”Hindry说。

帕斯滕还能够利用他的技术来改进对abc猜想的某些情况的估计，该猜想表示，如果三个整数a 、 b和c（无公共质因数）满足方程a + b = c ，则它们的质因数乘积与c相比必须很大。这个猜想是数论中最重要的猜想之一，一直是长达十年的争议的中心：数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）声称已经证明了这一猜想，但数学界的大多数人不认同。帕斯滕的工作代表了一种完全不同的解题方法。虽然他的结果远未证明完整的猜想，但从某些方面来看，它代表了几十年来的第一个重大进展。“我觉得abc猜想是一个非常棘手的课题，”格兰维尔说。

90年前，Chowla 和 Mahler 提出了他们的界限后，数学家逐渐为一个无限族的相关数列（例如n² + 3 或n⁵ + 2）建立了相同的界限。研究人员可能会尝试对帕斯滕的新界限进行相同的尝试，同时还探索了他的方法对加法和乘法交界处其他问题的影响。哈佛大学的巴里·马祖尔（Barry Mazur）表示，“进攻的新颖性”使这一前景令人兴奋。”

这些探索将会产生什么结果很难预测。“这就是原创性的问题，”格兰维尔说。但“他肯定有一些很酷的东西。”