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灵机一动 | 第198期头顶帽子

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2016-11-29 12:18

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 198

头顶帽子

老师把四名学生关在房间里，站立位置如图，A和B之间有面墙。老师告诉他们每人头顶上有顶帽子，共2黑2白，不能回头，不能说话，谁先能知道自己头顶上的帽子是什么颜色？过了一会儿，有位学生举手了，请问这位学生是谁？

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上期问题回顾

NO. 197

幻三角形

将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图所示的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：

（1）正三角形各边上的数之和相等；

（2）正三角形各边上的数之平方和除以3余数相等。

问：有多少种不同的填入方法？（注意：经过旋转或轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）

分析与解答

答案：48种。

注意到对三边进行计算时，每个顶点都计算了两次，所以我们不妨从顶点入手。设顶点的三个数字为a，b，c。

由条件1可知三边数字和是3的倍数，由条件2可知三边数字平方和也是3的倍数（注意：顶点处的三个数字a，b，c都加了两次）。由于1到9的和是3的倍数，1到9的平方和也是3的倍数，所以a，b，c的和是3的倍数，a，b，c的平方和也是3的倍数，这说明a，b，c除以3的余数是相同的，即（a，b，c）的取值有（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）三种可能。

以（a，b，c）=（1，4，7）为例，先计算出每边的数字和都是：（1+4+7+45）/3=19，这样有两种可能：

1）1，4之间是6，8；1，7之间是2，9；4，7之间是3，5；

2）1，4之间是5，9；1，7之间是3，8；4，7之间是2，6；

这两种情况的每组数均可互换（如1，4间6，8可以互换，且彼此不能由旋转或镜面反射转化），因此以（1，4，7）为顶点的情况共有2x2³=16种。

同理以（2，5，8），（3，6，9）为顶点的情况也均为16种，共计3x16=48种。

题友解答精选

◎题友 @乐乐 的解答：

共有48种。通过旋转，翻转，可以将三角形变成左顶点数小于右顶点数小于上顶点数。由于三边的平方和要相同，三个顶点要么同时都不能被3整除，要么同时都能被3整除，再加上三边和要相等，三个顶点之和需要能被3整除。这两个条件推出三个顶点被3除余数必须相同，只可能为1，4，7或2，5，8或3，6，9。每个条件各有16组解。以三顶点1，4，7为例，与顶点1，4同为底边的两个数集合可以为（6，8）或（5，9），一旦底边数集合选定，剩余两边的数的集合是唯一确定的，由于每边两数可以交换位置，所以填法个数为2*2*2*2=16。三种情况总计48种填法。

◎题友 @柳哥 的解答：

四个数的和被3整除，则四个数的平方和除3的余数，只跟四个数中，3的倍数的个数有关。有1个是3的倍数，余数为0，2个是3的倍数，余数为2，都不是3的倍数，余1。这道题来看，三条边要么有1个3的倍数，即3,6,9各占一边，要么3,6,9占顶点。这样，满足题目要求的顶点的值为（147）（258）（369），每个有2种填法。不考虑数字顺序，则为6种，考虑则为6x8=48种。

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灵机一动 | 第198期 头顶帽子

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灵机一动 | 第198期头顶帽子