专栏名称: 马同学图解数学

看图学数学！可能是中国最好的高等数学的基础概念讲解，深入浅出、形象生动。没有高深的数学符号，只有你能懂的数学内容。

为什么调和级数1/n是发散的，而P级数1/n^2是收敛的？

马同学图解数学 · 公众号 · 数学 · 2020-11-25 12:29

正文

本文建议直接点击文章最后的“ 阅读原文 ”进行阅读，获取不一样的阅读体验。

这个问题本身不难，证明有十七八种甚至更多。但是代数证明之后，我的内心还是忐忑不安， $\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n^2}$ ，都是所谓的 $P$ 级数，到底有什么本质不同会导致一个收敛一个发散？会不会我证明错了？其实两个都是收敛、或者都是发散？

1 观察调和级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

我们先放空自己，假设不知道调和级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

是发散的，我们来直观的感受一下调和级数。

设置几个不同的 $n$ 看看调和级数的值是多少：

$n=10 \Longrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n} \approx 2.93$
$n=1000 \Longrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n} \approx 7.49$
$n=100000 \Longrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{100000} \frac{1}{n} \approx 12.09$

增长的是不是很慢？

假设有这样一个屏幕，我们可以更好的感受下调和级数的增长速度：

每0.1秒，n增加1，所以一分钟的时候，n=600:

4个小时之后

6个小时之后

整整两个小时过去，整数位还是12，我想大概就收敛在12-13之间了吧，可是到了第7个小时，整数位终于跳到了13：

$n$ 越大增长就越慢，按照这个速度，级数和要达到60(没错，就是60这个区区小数)，基本上需要花几十亿年的时间。你盯着屏幕一年、两年，一直盯到你怀疑人生，整数位都一直没有变化，你想或许它收敛了吧，可是它终究在顽强的变大。

从你打开这个页面开始（如果是网页版本的话，知乎和微信不支持互动内容），下面这个级数就一直在累加，读完这篇文章大概也就几分钟，你看看几分钟之后可以累加到多少：

此处有互动内容，点击最下面的 “阅读原文” 进行操作。

需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。

直觉这个时候是失灵的，我们没有办法通过直觉判断调和级数是收敛还是发散，同样我们也没有办法通过直觉根据调和级数去推论P级数是否收敛还是发散。

2 收敛还是发散的决定因素

我们先来观察两个级数，一个是 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1$ ，一个是 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n}}$ ：

这两个级数收敛还是发散很好判断， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1=1+1+1+\cdots$ ，每次相加都会导致整数位变化，所以 $\to\infty$ ，而是 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n}}=0.1+0.01+0.001+\cdots$ ，每次相加都是不会影响整数位，作用在不同位上，更不会有进位，所以一定是收敛的：

可这两者有什么不同呢？速度：

我们先定义一下速度，这里给出单独的每个级数的速度没什么意义，两个级数的速度比更有意义：

两个正项级数

\sum a_n

和

\sum b_n

，如果

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=0

，那我们说

b_n

收敛于0的速度比

a_n

快。

根据这个收敛定义， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n}}$ 肯定比 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1$ 速度快。

收敛和发散的决定因素就是速度：

从直觉上讲，速度越靠近上方的就发散，靠近下方的就收敛：

速度一点点改变，最终就会引起质变，形成收敛和发散的鸿沟。

3 $\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n^2}$

根据之前的速度定义， $\frac{1}{n^2}$ 速度比 $\frac{1}{n}$ 快，但是速度引起了什么质变，导致两者在收敛和发散的道路上分道扬镳呢？

两者速度的变化导致了部分和的本质不同。

4 是否存在一个发散速度最慢的级数？

对于 $P$ 级数， $P=1$ 也就是 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，是发散速度最慢的 $P$ 级数。

但是对所有级数不能这么说，我们很容易构建一个发散更慢的级数，比如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n I n(n)}$ ，比调和级数发散的更慢，但是仍然发散。

5 让调和级数收敛

我们从调和级数中抽去某些项，相当于加快调和级数的收敛速度，看看能否收敛：

$n$ 全部为质数

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots \rightarrow \infty$
$n$ 为 $n!$

$\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots=e$

为什么调和级数1/n是发散的，而P级数1/n^2是收敛的？

正文

请到「今天看啥」查看全文