把生活当成一个公设，因此无需任何证明。
译
者：
崔牧云
编辑：子川
校对：华夏
插图：崔牧云
排版：姜如月
莉莉安·R·利伯（
Lillian R. Lieber）
“存在的喜悦必须每时每刻呈现在每一个人身上”，
在西蒙·波伏娃的颠覆性著作中，她如是评论
自由
如何要求我们把追求幸福作为一种道德义务。十五年后，数学家及作家莉莉安·R·利伯（Lillian R. Lieber，1886年7月26日-1986年7月11日）从一个与众不同却又类似的视角重新审视了这个问题。
爱因斯坦是利伯独特而又抽象的作品的铁杆粉丝。这些书作无不是以轻松诙谐的方式讨论严谨的数学话题，通过一贯的个人风格，架起了科学与哲学之间的桥梁。像爱因斯坦一样，利伯在科学与人文的交叉点上大放异彩，颇有建树。像埃德温·艾博特（Edwin A·Abbott，英国作家、学者和神学家）与他的代表作《平原》一样，她借用数学的概念，转变了那些使我们的生活不值一提，使我们的世界缺少公正的假设 。像苏斯博士（希奥多·苏斯·盖索，较常使用苏斯博士为笔名。美国著名的作家及漫画家，以儿童绘本最为出名）一样，她通过平易近人的诗句和不吝情感的标点符号，引申出她对这世上最永恒不变的问题——人存在的意义——深刻、冷静、严肃的思考与卓见。
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
她强调自己在书中频繁用到的换行和强调符号并不是即兴创作，而是一种方便读者快速阅读并帮助他们理解复杂概念的做法。利伯坚持认为她那行云流水般的作品并非诗歌，但这就像汉娜·阿伦特不承认其富有远见且影响深远的政治哲学是哲学，两者如出一辙。
在她的百年人生中，利伯创作了十七部这样独特而又深刻的作品。书中那可爱的钢笔插画由她的先生，艺术家休·利伯创作。1961年的绝版佳作《人文价值与科学，艺术与数学》（这部著作探索的是人类思维的极限与无限的可能）也是其著作之一。它以史上最伟大的几何学变革为开头，以一个高效、繁荣的民主政治应有的基本理念和理想结尾。
利伯这样描述这本书的愿景：
这本书其实是关于
用数学的概念使
“生活”、“自由”，和“对幸福的追求”这些概念，
变得不那么抽象。
我们首先应该明白
“思考”在数学中的意义，
以及它对于人类思维的
“能力”和“极限”
所产生的影响。
那么我们就会发现这将会对
广义的“思考”，
亦或是如“生活”、“自由”，以及“对幸福的追求”等等
带来怎样的影响！
因为我们必须承认
没有这一方法的辅助，
我们对于这些事物的“思考”
常常会导致诸多困惑——
将
“许可”
误以为是
“自由”
，
由此导致青少年犯罪；
将
“金钱”
误以为是
“幸福”
，
由此导致成年人犯罪；
误解“生活”本身，
将卑鄙的苟且与存在混为一谈！
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
利伯认为数学发展的历史中其实蕴含着一则寓言，讲述的是我们作为一个物种的能力，以及我们可以如何运用这些能力来提升至最高层次的自我。在题为“自由与责任”的第一章中，她记叙了由非欧几里得几何学（非欧几何，是多个几何形式系统的统称，与欧几里得几何的差别在于第五公设）的产生，引发了我们对自然和现实认知的革命。利伯将这一重大的历史时刻称为“1826年的伟大发现”。她写到：
在数学的历史上
最令人振奋的事物之一
就发生在19世纪初。
它的结果便是，
探索发现的闸门
敞然大开，
而且创意的源泉，
仍然不断喷涌！
（……）
不仅如此，
这一令人振奋的现象
仅仅是源自
态度的转变！
或许我不应该说“仅仅”，
因为这个词的威力太大了——
只会显示出
一个态度的转变
就能如此至关重要
这样我们就可以审视自己
对于许多事情和人的态度 ——
这也许才是最有意义的事情，
正如数学中证明地那般。
利伯指出，为了深入理解人们在态度上的革命性转变，我们首先需要了解被这场革命取代的旧有“态度”，也就是之前的世界观。只有再次温习欧几里得，我
们才能更好地领会“1826年的伟大发现”的伟大之处：
欧几里得……
首次将几何学的若干已知事实
整理在一起
并构建了一个系统，
而不是将它们扔在一旁，
支离破碎
就像置身谜题！
（……）
欧几里得的系统
被当做一个思考清晰的模型
沿用了好几个世纪，
仍然并一直是
人类征途里最伟大的宝藏之一。
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
对于建造这样一个“思考清晰的模型”的意义，利伯有一番抽丝剥茧的诠释：这套网状的逻辑使人们的学习更轻松，也能更快探索出新的东西。她以优雅而简洁的笔触，深入研究了这一系统的关键部分，并勾勒出了数学思维的基本架构：
在构建一个系统的过程中，
我们先要
用逻辑的方法
从几条简单的陈述入手，
推导出“结果”。
那么我们就可以
在被它们惊到之前，
“确定这些结果”。
我们当然需要更多！
因此欧几里得将这些
简单的陈述
（数学中称作“公设”）
描述为：
“任何两点之间，
都可以画出一条直线
连接这两点”，
人们喜欢这样的描述。
从这些陈述，
他推导出许多复杂的定理
（之前所说的“结果”）
比如说著名的
勾股定理，
以及许多许多其他的定理。
而且，我们都知道，
要想“证明”任何定理
我们必须要展示怎么
从那些假设把它“推导”出来——
也就是说，
每一个在“证明”中出现的说法
都必须有公设，
或是已经被
那些公设
“证明”的定理
所支持。
当然，
第一项定理
一定只能是
从公设中得来。
物理学家加纳·列文优美地讲述了追求真理中逻辑的局限，而在此半个世纪
以前，利伯归纳了数学中的一个核心误解：
我们该怎么理解
那些公设本身呢？
它们又该如何被“证明”？
很显然，它们
根本无法被证明——
因为在它们之前没有任何东西
可以用来推导它们！
这一点也许会让那些
认为在数学中
所有东西都可以被证明的人
大失所望！
但是你会发现
即使是在数学中
这也是不可能的，
每一个系统必然从
公设开始，
且这些公设是不能被证明的，
因为在它们之前没有东西
可以用来推导它们。
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
这个确定性的闭环适用于所有科学。即便很奇怪，一门学科越依赖于数学，我们越倾向于认定它为逻辑缜密的“硬科学”。
然而思考模式越是倾向于数学思维，那么它便越依赖于这种假设与抽象。
当然，欧几里得也很清楚这一点。因此他把自己未经证明的假设当做“不证自明的事实”，化解了这个内部矛盾。他的系统建立于用逻辑从这些公设推导出的一些结果或定理之上。然而在这些公设之中，有一个让欧几里得很苦恼，这便是著名的平行公设。
平行公设是说：
如果你要从A、B两点之间画一条直线，然后在这一条直线外取一点C，那么你只能画一条且仅一条通过C点的线，使之与通过A、B两点的直线平行；而且，无论你怎样在空间中延长这两条平行线，它们永远不会相交。
然而，欧几里得并不能说服自己这是一条不证自明的事实。 后来的13个世纪里, 数学家们也从未证明出这一点。十九世纪初，三位数学家——俄国的尼古拉·罗巴切夫斯基、匈牙利的鲍耶·亚诺什和德国的卡尔·弗里德里希·高斯，各自独立得出了同样的结论：
平行公设的挑战并不在于证明，如利伯所言，而是在于“我们对假设的定义所持有的态度”。也就是说，无论假设能否反映出自然实际的运转，它都不应该被看做是自然中“不证自明的事实”，而是应该被当成人类对于自然如何运转所作出的假定。
两者间的差别听起来很模糊，却影响深远。它让数学家们得以发现，
公设并非那么神圣而不可撼动。
相反，它们是能被替代、调整、推翻的。19世纪这群富有想象力的数学家完整保留了欧几里得体系的其他部分，另一方面他们改变了平行公设，并假定可以通过点C画出两条线，这两条线将平行于A和B之间的线——整个理论体系仍然是自洽的。这引发了一系列革命性的定理，包括三角形的顶角之和可以不为180度，比如在球面上大于180度，在凹面上则小于180度。
这在当时是一个非常激进且完全违背直觉的想法，还无法被直观地理解，更难以在平面上作图示意。不过，这并不仅仅是一个思想实验，或是一个有趣、废琢磨的脑力消遣。它促进了非欧几里得几何学的诞生，帮助我们理解扭曲的三维空间——我们现在知道它与平面几何一样真实，并存在于自然的每个角落：从马蹄莲的盛开，到珊瑚礁的成长，再到构成世间万物过去或未来形态的时空结构。这个想法也因此打开了数学和物理领域中创意的闸门。事实上，如果不是非欧几里得几何，爱因斯坦本人将无法得出相对论，也无法将空间与时间结合为时空这一革命性的概念。
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
在书中，利伯将这一概念上的飞跃全部归功于思想上的成就——从数学到对自然、心理学、社会学以及人性的认知的飞跃。
非欧几里得几何中拒绝接受任何不证自明的事实。通过反思这一态度所展现出的思想上的巨大变革，她对“终极真理”这一说法提出质疑。
“终极真理”这种说法由法国哲学家克劳德·巴菲尔提出并广为流传，在克劳德看来，它表明的是人类意识的不同层面，由它筑造了普适性、不容置疑的道德伦理价值。考虑到与众不同的局限、自由、谦逊、责任之间的关系如何塑造我们的价值观，利伯写道：
虽然数学仅仅是
一个人造的事业，
但是
人类为自己在这一领域
做得非常好，
在这里一个人拥有
附有责任的自由——
以及
虽然他在这里学到了谦逊
因为他知道自己
无法接触到
“不证自明的事实”和
“终极真理”，
他也不是上帝——
然而他也知道
他也绝非是一只老鼠，
而是一个人，
带着他所有的
需要用来发展
精彩绝伦的数学领域的
生而为人的尊严
和创造力。
《人文价值与科学，艺术与数学》书中
休·利伯所作插画
利伯在另外一个概念上的联想中，提出驱动着数学发展的尊严和创造力同样是人类生活中至高追求的源动力，亦即阿尔贝·加缪所主张的我们的道德义务——对幸福的追求。
（这）当然意味着
谎言
决不能作为一个思想的工具！
这个论述难道不是
