数学家揭示了导体内的秘密

悦智网 · 公众号 · · 2020-02-07 15:30

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电子会在导体中流淌，而不会在绝缘体中流淌。在导体中，电子有着非常复杂的运动方式，要完全精确地知道导体中究竟发生了什么几乎不可能的。但在过去的50多年里，数学家和物理学家开始意识到，大量电子的流动会形成漂亮的统计模式——在导体和绝缘体中，电子的运动会呈现不同的统计分布。但这更多的是一种”直觉“，这种统计模式并没有被确切地证实过。

在过去半个多世纪里，数学家一直在寻找能证明这一点的数学模型。去年夏天，有三位数学家完成了一次突破，得出了最接近这一目标的结果。他们分别是纽约大学的Paul Bourgade、哈佛大学的Horng-Tzer Yau和加州大学洛杉矶分校的Jun Yin。他们证明了一种被称为“普适性”的数学特征的存在，而这可用来证明材料的导电性。

在上世纪60年代，著名物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）提出了对量子物理学的宏伟愿景。他了解量子相互作用的复杂性，明白这是无法被准确描述的，所以他寄希望于统计学能显现这些相互作用的本质。而Bourgade等人的研究结果就是对这一愿景的最新验证。

即便是看似不具有相关性的孤立事件也可能具有可预测的统计模式。有许多类型的统计模式是独立事件可以遵循的。正态分布可能是最著名的统计模式，它的曲线呈钟形，能描述许多类非关联事件的统计分布；还有齐夫定律，它描述了一个数据集中最大数字的相对大小；此外还有本福特定律，它描述了一个数据集的首位数字的概率分布。

20世纪50年代，维格纳遇到了一个问题，他想要模拟铀原子核内的数百个粒子之间的相互作用。但这个问题太过于复杂了，他需要借助一种新的统计模式来应对这个问题。他对这个问题进行了简化，忽略了单个粒子之间的相互作用，而是转而关注整个系统的平均统计行为。

为了说明粒子之间如何相互作用，维格纳使用了一个数字网格。这个网格被称为矩阵，如果能够精确地确定矩阵中的数字，也就可以精确地确定粒子间的相互作用。但维格纳只能做到用随机的数字来填充这些矩阵。他希望这样的操作能使他的计算得以继续，并且在最后仍能对铀核作出有效的描述。

结果他确实做到了。维格纳发现，他能够从“随机”矩阵中提取出一种模式，这种模式涉及到矩阵的特征值。他惊讶地发现，随机的矩阵却具有关联的特征值。如果用数轴来表示这些特征值，会发现它们似乎呈现出某种规则的间隔。现在，这种分布常被称为Wigner-Dyson-Mehta分布，它所描述的现象就是普适性。普适性可以描述许多不同种类的事物，一般来说，它与复杂的关联系统有关。

通过对铀原子核的建模，维格纳作出猜想：随机矩阵应该能够描述任何由相互关联的粒子构成的量子系统，这意味着所有粒子都会相互影响。 Yau解释说，任何量子系统，如果它是高度关联的，那么它的特征值分布将与随机矩阵类似。

后来的研究人员推测，当物理系统中的粒子以一种非关联的方式运动时，矩阵的特征值应该遵循泊松分布，这与正态分布有关。这也就是像粒子在绝缘体中的行为那样。

所以，材料之所以导电，是因为它们的电子会以一种有序的、相关的方式相互作用。它们携带者电流，步调一致地一起移动。所以维格纳的猜想表明，如果一个量子系统的特征值具有普适性，这就证明系统中的粒子是以一种相关的方式在相互作用，从而证明这样的系统就是导体。

维格纳的铀原子核模型算不上是一个非常现实的导体模型，因为维格纳没有将空间结构纳入考量。他的模型中包含了这样一个假设，那就是每个粒子都以同样的可能性与其他粒子相互作用；他没有考虑到在现实的材料中，距离较近的粒子比距离较远的粒子更有可能相互作用。这对于维格纳的铀原子核系统来说问题不大，因为在这个系统中，粒子会被紧紧地束缚在原子核这一小块区域内，每个粒子都会相互作用。

这种不考虑粒子间距离的物理模型被称为”平均场“模型。它们使用起来更简单，却远无法精确描述真实的物理世界。数学家在十多年前就已经证明了，导电材料的特征值遵循维格纳的普遍模式，但这一证明只适用于平均场模型。因此，数学家需要研究的是更接近物理现实的非平均场模型，也就是说粒子只会与周围的粒子相互作用的模型。

而在新的论文中，三位数学家几乎实现了这一点。在他们的模型中，粒子可以与最近邻以及周围更多的一些粒子相互作用，但并不会与系统中所有的粒子都发生相互作用。

用于描述这种相互作用的矩阵被称为随机带状矩阵。在数学中，带状矩阵是一种稀疏矩阵，矩阵中数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，而且这些非0元素都集中在矩阵对角的一条带上。随机带状矩阵的这种结构，能使粒子只能与较为临近的粒子相互作用，而不能与相距太远的粒子作用。也就是说，这种”带“可以描述每个粒子周围发生相互作用的区域。

他们证明了，特征值在一些特定的随机带矩阵中仍然遵循维格纳在平均场矩阵中观察到的分布。这意味着，即使我们限制电子，让它们只能与附近的粒子相互作用，也能得到维格纳在简化的”平均场“模型中发现的平均统计行为，也就是特征值的分布。

当维格纳第一次发现普遍分布的特征值时，这似乎很难置信。而新的研究表明，维格纳的洞察是正确的，他的猜测是有根据的。在某种程度上，这样的结果或许连维格纳本人都会感到惊讶。

原文作者为Kevin Hartnett，原文标题“Universal Pattern Explains Why Materials Conduct”，首发于2019年5月6日的Quantamagazine。原文链接： https://www.quantamagazine.org/universal-pattern-explains-why-materials-conduct-20190506/. 中文内容有删减，仅供参考，一切内容以英文原版为准。

文章来源：数学职业家

IEEE Spectrum

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