这是一个很严肃正经的数学问题。
我这里给出
严格数学意义上的归纳
。你看完之后，会发现其实四维空间没有你想象中的复杂，要理解四维的球形并不是不可能。
你看不到不代表它不存在，更不代表我们想象不到；
18世纪被提出时就被认为无稽之谈的四维几何在爱因斯坦提出相对论之后，越来越有实际应用价值。
在这里并没有引入除公设公理之外任何的假设，整个数学大厦的构建依靠的基础就是如此简单，高维空间也不例外。如果你能够在一张二维纸上具象三维物体，我就能引导你在一本三维“书”上具象四维。
某维空间的球
(Hypersphere)可以看成该维度空间内所有到某一固定点小于等于相同距离的点的集合。
空间内的封闭可以是不规则图形
，如果用最简单的圆形封闭，本句可作为该问题的答案，但要
如何理解
呢？四维空间里，就算是最简单的图形，解释起来也要花点功夫。
开始前，首先要明确
四维空间的定义
。
少数人认为“
第四维就是时间
”，是的，这是
四维时空
的第四维，但不是
四维空间
的第四维。
Part 1：关于四维球
为方便记述，记该点为原点，建立
欧氏几何直角坐标系
（其实建立球坐标系描述要简单得多，但为更多人所理解，此处用大家熟悉的欧几里得空间建系）。
相同距离设为1
。在
n维
空间就有
n个
任意两个
互相垂直
的坐标轴。
所以在
一维空间
，球的边缘只有两个点，
-1和1
。
没错，
一维球在我们三维空间来看就是一个线段
，虽然可能感觉很奇怪，但从定义上
（x²<=1
的实解）讨论，就是这样， 一维世界的图形除了点还有什么呢？
在
二维空间
，我们可依
勾股定理
公式得出所有到原点相同距离的点的集合，
x²+y²=1²
，得到的是
无数个实数解
，这些点形成二维空间的封闭图形，
图形内的点在二维空间内无法不通过此图形而越到外面
。
在
三维空间
，相同道理，
x²+y²+z²<=1
，也得到无数个实数解，这些解的集合是
一个三维球
，是很易理解，每个点都是上述方程的解。
看起来这三段话都是废话，但是这些都是作为理解四维球的铺垫，为了方便理解概括这些规律与对应关系。
那么请看下图，
点P
在三维坐标系的位置，屏幕里图形的8条棱实际在一个平面的六边形上。但这时候你的想象力已经把这个图形勾勒成一个
立方体
了，相信所有生活在三维空间的我们都可以做到这一点。现在请把你的手指垂直立在下图原点，
你的手指与屏幕垂直，也与该三维膜垂直
。
在
四维空间
，为了找出在四维空间内所有到原点相同距离的集合，我们要建立一个方程来确定这些点的集合，这个方程为
x²+y²+z²+w²=1
。
推理方式和三维球体相同，可以轻易理解此方程的可以直接跳过下面的推理。
因为三维空间在第四维（你手指的方向）没有厚度，我们把它看成在屏幕上，所以我们也把它叫做三维膜。
假设新维度的坐标轴为w轴，一般习惯叫它
w轴
（别问我，我也不知道为什么，只知道笛卡尔在建立坐标系的时候，如果坐标轴的顺序如果是z y x w v …的话，我们研究四维的强迫症就不会犯了）
。假设将上图点P向w轴方向平移w，记为
P'
，则其位置为
（x,y,z,w）
。P'离xyz空间的距离为w，现在我们得到一个三角形，
直角边之一为PP'，另一个直角边为OP，斜边为半径OP'
。
此时斜边长即为P到原点的距离，也是四维球的半径。
已知半径为1，则通过勾股定理可以得到d²+w²=1²。
我们又知道d²=x²+y²+z²，所以x²+y²+z²+w²=1
注意w轴在这里并不特殊，因为
任意两个坐标轴
都是
相互垂直
的。我们也可以把x轴或者y，z轴单独提取出来，得到相同的结论，因为不管从哪个轴的方向看，
欧几里得四维空间的坐标轴结构都是相同的
，所以此公式也是如此，xyzw可以随意替换。
通过这个方程我们得到一个庞大的集合，也就是一个
四维球体
(4-sphere)，
更高维球体也是如此推理得到
。
可能有些同学会问，就算你这么说，我还是想象不出来高维球到底是什么样子啊。
1.2 关于如何在脑中想象四维空间
又是一个新的问题了。各位请打开你们的脑洞，最好换张显卡，我们没有关于四维空间的任何实际经验，这很可能是我们一生中最难想象的东西。建议你在
想象四维球之前先想象超立方体
，这很重要，因为就算你能想象超立方体，想象四维球也是困难的。
相信大家感觉最困难的是如何想象出一条坐标轴与现有三维空间的三个维度相垂直，这也是第一步。因为在我们想象的时候，总是有意无意地把这条第四维坐标轴放进了我们的三维空间里面，我在刚学的时候也是这样，这是个很容易或者必定会走入的误区，然后建出个斜角坐标系。
我先列举几条关于这条坐标轴的几何属性，避免大家把这条直线禁锢在自己熟悉的三维空间内。
1: w坐标轴与原有xyz空间仅有一个交点
2: w坐标轴垂直于xyz空间（一条线垂直于一个空间是指，这条线垂直于这个空间里的每条线，每个面）
3: w坐标轴可与xy平面构成一个三维空间，一个垂直于z轴的空间。
4: 经过任意一点，必定可找到4条相互垂直的直线，这四条直线必定可经过xyzw轴旋转平移得到。
5: wxyz 可以任意互换，所有描述依然成立
当
w=1
，函数解为x=y=z=0，就是说这个四维球体在w=1的三维膜上只有一个点(0,0,0,1)
当w稍小于1时，xyz的函数解开始形成一个三维球。
…
当
w=1/√2
，函数解为x²+y²+z²=1/2，即一个半径为1/√2的三维球体，在十六个象限中的第一象限的其中一个点可以表示为（1/√8，1√8，1/2，1/√2）
…
当
w=0
，函数解为一个半径为1的三维球体
…
w为
负时偶函数对称
。
在四维空间，三维空间也叫三维膜。
这个膜的意思指
无厚度
，而不是指三维空间里的一个平面切片。
三维空间是四维空间的一个切片。
一个三维物体只有长宽高，不管你在四维空间中如何摆放，总有一个方向，它是没有厚度的。
如果你把眼前的屏幕想象成一个三维膜
（实际上是二维膜，所以需要靠你想象）
，那么以下两种方法可以帮助你想象w轴，但
前提
是你想象力必须大到可以同时在脑中印象大量的立方体。如果要想象四维球，必须
同时印象大量的三维球
；就好像你想象三维球的时候，你脑中印象大量的圆形。
一：四维空间很难想象，但是我们已经生活在了一个四维时空，我们想象三维空间+一维时间是没有问题的。
我们也可以
先
把时间当成w方向处理。把每个三维图像在w轴方向发生的变化从脑中过一遍。
然后
再把时间当成x方向处理，想象图像在x轴的变化，描绘出每个yzw三维膜内的图像。
yzw三维膜
是指，二维空间平面和一维时间组成的三维时空，因为也是三个维度，完全可以放在我们熟悉的三维空间内想象。举个例子比较好理解。
比如
一个苹果 ，xyz空间下是我们最熟悉的一个近似球体，而它在yzw空间里，是一片苹果切片跟随时间发展的变化，由长大成熟到腐烂，形状近似圆柱。如果这个苹果被吃了，那么每一口都相当于销去圆锥的一大块，形状看起来比较像迪拜塔。
如果对yzw三维膜想象有困难，可以具体观察下面这三个时空图：
时间取帧叠在三维空间的跑步：
三维空间加时间形成的四维球：
螺旋看起来是三维的，那是因为太阳系接近平面，可以看成是二维空间加时间形成的三维
二：想象你有透明的200张纸，每张纸厚度是0.01
，如果在每张纸上面画每张纸代表不同的w值，从
-1，-0.99，-0.98一直到1
为止，按w对应的值画出不断变化大小的200个球在这些纸上。
这时便在一本三维书上画出了一个四维球。
熟练之后请你把所有时间发生的200个三维图像同时在脑中印象，你就能体会到四个互垂直的方向。
还记得之前说的经过任意一点必定有四条相互垂直的直线吗，没错，根据这本三维书的四条坐标轴。经过任意一点，你都能找到这四条直线的位置。你发现你打开一个新的世界，
一个由无限个本身就是无限的三维空间构成的四维空间
。
你要不断的琢磨并想明白每条线的垂直关系。当你脑中有一个三维球时，里面已经包含了无限的圆，而一个圆里有无限条线和无限无限的点，你的想象力早已超越无限，要做的，只是突破下一个无限。
而映在你脑海中的，是一个四维球。你在脑海中，拥有了四维的视野。
如果没有理解，没有关系，这不是一时半会儿能搞定的。想一个住在平面国的人，永远也接触不到第三维空间，你会怎么和他解释？请用相同的办法向自己解释。
我下面简要的画一个四维球，把这个球在所有坐标轴形成的平面上重叠的部分（也就是圆，四条轴交错形成6个面）也画出来。
为什么要这么做呢？
因为当我们简要的画一个
三维球
时，通常把这个球在坐标轴形成的平面上重叠的部分
（也就是圆，三条轴交错形成3个面，用这个方法表示球很形象，因为在平行于这个圆的所有圆里面，这个圆是最大的）
也画出来：
请把你的手指竖立在上面图的圆心上，这时你的手指与纸面上的三维空间相互垂直。
我们已经可以很好想象在在纸面上的三维球，这时垂直于这个纸面的新坐标轴就可以看成是第四维度。每张纸都是一个三维空间，每张纸里的三维空间都相互平行，w轴垂直与纸，你脑海中应该深刻印象出
3个圆：
xw面上的圆，yw面上的圆，zw面上的圆。加上xyz的三个圆，于是我们便很容易地得到了我们想简要画的六个圆以及他们在球面上的平行圆。他的表面大概像这样：
此图只画出了你
5张纸
上的球，因为画太多画面就看不清了。四维球拥有
6个互相垂直的二维球（圆）和4个互相垂直的三维球
。
一个四维球体是由连续的规律变化半径的无限个三维球的集合
，当然，他们各自在相互平行的三维空间，也被称为：
平行空间
。
三维球的表面有经线与纬线，四维球也类似：
一个四维球的表面可以看成是无数个纬“球”和经“球”构成，每个纬“球”互相平行，半径在南北极方向按公式±√(r²-x²)不断变化：在南极是一个点，在赤道到达最大半径，再缩小至北极。
这张图是四维球的表面，在四维空间没有内外之分。
如果你在分清四个方向前以三维视角看此投影，很可能出现误区，觉得存在内外：
当你把不断变化的w替换成不断变化的x，结果亦是相同。
若仍觉的困难，想象一下一个三维球是怎么用不断变化半径的圆积分组成的。
注意要想象成功，无论如何，请做到这点：勿试图在三维空间内想象第四维方向
（废话）
。
Part 2：为什么四维球可以封闭三维空间？
很高兴能不以降维比喻而用微分解释这件事情：我们继续动用刚才画出的四维球，在
(1,0,0,0)
处做一个点，通过这个点，有一个垂直于x轴的空间。接下来我们在每个
x²+y²+z²+w²=1
成立的位置
（即四维球的表面）
作无数点，与球心连线，我们可以经过该点作无数个与连线垂直的空间。
因为点是连续的，所以在球表的空间也是连续的
。
我们也可以用
拓补
解释：
均匀内裹三维空间，使其与其空间外一点保持相等距离，每条测地线都围绕该点一周后闭合。
我们不难发现，在四维球的表面，存在一个
有限但是无边界
的三维空间。
有限
是因为这个空间没有在四维空间上无限延伸；
无边界
是因为这个空间均匀的散布在四维球表面，你找不到这个空间的任何断层或裂缝
。
如果你是这个表面空间的一个三维生物，你永远都无法逃脱这个封闭，你会发现一个三角形的内角和永远大于180；即空间存在曲率，因为这个空间的曲率导致其永远与球心保持相同距离；任何一条无限延伸的直线都能闭合；往空间的任意一个方向走都会回到原点。除非你能把你的腿沿着不属于你空间的位置弯曲，产生在半径方向的行动力。
那么
有限无边界的空间
该怎么理解呢？或者说身处这样一个空间是什么体验？
如果这个空间很小，你可以很贴切的感受到。
你就是那个站在自己后面看自己的人；不管你看向那个方向都能看到自己的后脑勺；你可以追着自己的像前进，但是你永远也追不到，会看到你追的自己也在往前面跑；如果你的手够长可以往前伸够到自己的后背，或者够到前面第n个自己的后背。如果你是这个空间的一条贪吃蛇，你最后一定会撞上自己的身体。
