如何理解Gamma函数？

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数系从整数扩张到实数，其实并不是一件简单的事情。

光增加实数本身意义不大，对应的计算规则也需要跟着扩张。否则就好像兑换了比特币，但发现没有消费场景，这就尴尬了。

比如，我们知道：

通过极限理论，可以把乘方扩展到实数范围，比如：

那么，下面这两个针对正整数的运算是否可以扩展到实数范围：

• 阶乘：

• 求导：

1 0的阶乘是多少？

阶乘是定义在正整数上的，比如：

那么：

定义0的阶乘等于多少，数学家最主要考虑的是自洽。

自洽的意思是说，数学是环环相扣的，增加一个新的定义，必须让之前的公理、公式都成立。否则得不偿失。

我们来考虑 的泰勒展开：

那么令 有：

已知 （关于这个的定义又是另外的故事了，这里不讨论），于是，必须定义：

才能让上面这个等式成立，才能自洽。

2 插值的游戏

现在我们知道了：

放在坐标轴上也就是这些点：

要把阶乘扩展到实数：

• 首先，必须保证阶乘本身在自然数上的定义

• 其次，满足上一点的前提下，尽量找到“好”的扩展

以此为前提，最自然的想法就是找到一条穿过这些点的线，比如：

这种折线我们一般不考虑，性质不“好”，好多地方不可导，这样插值在数学里面意义不大。

通过，牛顿插值法（可以参考 此文 ，或者 此文 ）：

看着还行，但是插值点多了之后（下面增加了 三个插值点），图像就很曲折：

伯努利、欧拉、哥德巴赫尝试过各种插值法（详见 神奇的伽马函数 ）。

我这里介绍一种插值方法，考虑这个积分：

两边对 求 次导：

即得到：

令 ，得到：

这个就是我们要的插值函数，稍微换一下符号，写作（高斯就是这么标记的）：

此时有：

欧拉和勒让德把这个稍微改动了一下，就是现在用的Gamma函数：

此时有：

图像如下：

可能大家非常不习惯，为啥：

大家猜测这样定义的话，欧拉后来定义的beta函数会比较对称：

否则按照高斯的标记法，beta函数得长这个样子：

可能到时候同学们又会抱怨beta函数难以记住了。

哎，总之阴差阳错，gamma函数就是长这个样子了。就好像圆的周长是：

为什么会多个 2 啊？这也是欧拉给我们留下的数学遗产。

3 Gamma函数唯一吗？

其实，能够完成插值的函数不止一个，有非常多，比如：

再比如：

要我说，上面这两个插值函数还好一些，不像Gamma函数在 的时候，还有非常多的点取不到值，也不单调。

那么数学家到底怎么选择？怎么判断哪一个更“好”？直到Bohr-Mullerup定理出现，才算有了一个标准。

Bohr-Mullerup定理说的是，Gamma函数是唯一在定义域 中，满足以下三个条件的函数：

• 

• 
  

• 是凸函数

前面两个条件不说了，以上的插值函数都满足，数学家最看中的是最后一个条件。

最后这个条件说明这个函数性质良好（可以参看 Importance of Log Convexity of the Gamma Function ），在可选的插值函数中选择一个这样的函数，数学家还算满意。