曲面调和映射的乌伦贝克定理

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2019年3月19日，由丘成桐先生推荐，美国数学家卡伦·乌伦贝克教授，获得了阿贝尔奖。今年是这一奖项首次出现女性得主。在给乌伦贝克的推荐信中，丘先生写道：“乌伦贝克教授是我们这个时代最杰出的数学家之一。她在极小曲面、调和映射、杨·密尔斯理论、非线性波和可积系统方面做了开创性的工作，这些在过去40年里塑造了几何分析领域。她的工作对微分几何、偏微分方程、拓扑和数学物理都产生了巨大的影响。”

多年之前，丘先生就给老顾讲过乌伦贝克的奇闻轶事：有一次，乌伦贝克和丘先生合作研究Kähler流形上Hermitian-Yang-Mills方程，在关键环节上遭遇困难。乌伦贝克将自己反锁在室内，整整一周足不出户，废寝忘食，将其一举攻克。乌伦贝克教授顽强的斗志，昂扬的激情，深厚的功力都令人叹为观止。

这里，我们简单介绍一下曲面调和映射的几何分析方法。众所周知，丘先生追随陈省身先生学习微分几何，同时和Morrey教授学习偏微分方程，然后将这两大领域相结合，创立了几何分析学派。调和映射理论完美地体现了几何分析方法的特点，既依赖于微分几何的理论，又用到偏微分方程的手法。曲面的调和映射理论更加丰富，除了需要用到微分几何和偏微分方程，也需要用到代数拓扑和共形几何理论。

半壁江山

在计算机视觉、医学图像等领域比较不同的几何形体具有根本的重要性。例如在医学图像中，病患的组织器官被拍摄下来，得到CT断层扫描或者核磁共振图像，有时候器官表面被抽取重建起来，然后和健康的器官进行精确的定量比较，从而帮助医生进行诊断。 例如通过比较大脑皮层曲面，判断阿兹海默症；比较膀胱内壁，诊治膀胱肿瘤等等。这些都归结为求取几何曲面（或者实体）之间的光滑双射（微分同胚），并且尽量减小几何畸变，这被称为是曲面（实体）配准问题。

图1. 比较大脑皮层曲面判断阿兹海默症。

图2. 比较膀胱内壁，判断膀胱癌症。

在医学图像领域，有两种比较常见的曲面配准方法，LDDMM算法和调和映射算法。LDDMM算法大致思路如下：假设源曲面和目标曲面都嵌入在三维欧氏空间中的单位立方体内，我们计算一族单位立方体到自身的微分同胚，这族微分自同胚将源曲面同伦（同痕）变换成目标曲面。微分自同胚族由单位立方体中的时变光滑矢量场所决定，光滑矢量场的计算归结为一个变分问题。这种方法为了计算二维曲面间的微分同胚，实际计算了三维立方体之间同痕变换，计算量较大；同时，如果源曲面和目标曲面彼此拓扑等价，但是并不同痕等价（即存在同伦变换，并且每一步都是嵌入），LDDMM方法无法得到微分同胚。相反的，调和映射方法只在二维曲面上进行计算，同时保证几何畸变最小；更进一步，调和映射方法是内蕴的，只需要黎曼度量信息，对于拓扑同胚、但是非同痕等价曲面也可以算出微分同胚。

目前医学图像领域调和映射方法不似LDDMM方法普遍，一方面有LDDMM提出较早的历史原因，另一方面也有调和映射理论较为艰深的学术原因。但是，对于蓬勃发展的医学图像工业而言，调和映射方法高效新颖，完备高效，会有异军突起的潜力。可以大胆预言，调和映射方法将挑起医学图像领域几何配准算法的半壁江山。

图3. 动态人脸表情捕捉。

计算机视觉领域中三维人脸识别，动漫动画工业中动态表情捕捉也依赖于曲面之间的微分同胚，最终归结为曲面之间的调和映射。在工程领域调和映射的算法被日益推广，调和映射的理论日益被重视起来。丘先生和乌伦贝克教授数十年前的工作为此奠定了坚实的基础。

调和映射的概念

我们考虑带有黎曼度量的可定向曲面 , 陈省身先生曾经证明局部 等温坐标 的存在性， ，这里 是曲面的局部坐标，不同的等温坐标间的变换映射为双全纯复值函数，所有的等温坐标系构成曲面的共形结构，曲面为黎曼面。曲面上的一条曲线为 ，曲线长度的能量为

,

长度能量极值者被称为是 测地线 ，测地线的 欧拉-拉格朗日方程 为

。

调和映射是测地线的高维推广。假设源曲面和目标曲面是拓扑等价的具有黎曼度量的可定向曲面， 和 ，不妨设： ， ，曲面之间的映射为 。映射的 调和能量密度 定义为

,

曲面的面元为 ，映射的 调和能量 为

。

从定义可以看到，调和能量只和源曲面的共形结构 有关，和共形等价的黎曼度量 无关。

调和映射 使调和能量 极小化 ，如果映射光滑 ，由变分法得到调和映射的欧拉-拉格朗日方程：

。

如果我们减弱映射的光滑性 ，那么 弱调和映射 满足条件：

。

存在性

乌伦贝克给出了度量曲面之间调和映射的存在性证明。我们首先证明弱调和映射的存在性，然后再证明映射的光滑性；在证明过程中，我们先证明局部解的存在性，然后再推广到全局解。

图4. Courant-Lebesgue引理。

首先， Courant-Lebesgue引理 用调和能量控制圆周边界像点之间的测地距离。令 是复平面上的区域， 是一个带有黎曼度量的曲面，并且映射属于索伯列夫空间， ，调和能量有限， 。令

，任意 ，圆盘 ，那么存在一个常数 使得对一切 ，

。

图5. 调和映射的最大值定理。

令 是一个黎曼流形， 是嵌套闭集。如果存在光滑映射 ，限制在 上是恒同映射，并且在 上距离收缩，那么我们说 是一个 距离收缩投影 。令 是一个黎曼流形，带有边界 ，映射 ，边界的像 ，在保持边界条件的同类映射族中极小化调和能量，那么 极大值定理 断言我们有 ，即 内点的像也包含在 之中。如果 是一个测地圆盘，其半径满足

这里 是内射半径， 是截面曲率，那么极大值定理成立。由Courant-Lebesgue引理和最大值定理，我们可以得到 Dirichlet问题 有解。

图6. Dirichlet定理。

Dirichlet定理如下：令N是一个完备黎曼流形， 是内射半径， 是截面曲率，点 ，令

假设连续映射 ，可以被扩展成具有有限调和能量的映射 ，那么存在调和映射 ，具有边界条件

，并且调和映射的连续模由目标黎曼流形的内射半径、截面曲率、调和能量 和g的连续模共同决定。

基于调和映射的局部存在性定理，Sacks-Uhlenbeck证明了调和映射的全局存在性定理【1】，丘先生和Schoen也给出了不同的证明【2】。 乌伦贝克定理 ：假设 是具有黎曼度量的紧曲面， ，并且 ，如果存在连续映射具有有限调和能量， ，那么存在调和映射 ，与 同伦，满足边界条件 ，并且在此同伦类中极小化调和能量。

正则性

调和映射的正则性证明是基于经典偏微分方程正则性理论：设给定欧氏空间中的区域 ，并且 是泊松方程 的弱解。如果 ，这里p大于背景欧氏空间的维数2，那么 ；如果 ，那么 。

首先我们假设目标曲面上配有 双曲黎曼度量 ，令 是具有有限调和能量的弱调和映射。那么对所有 ，像点之间的双曲距离具有估计

。

设点 ，在邻域U中，我们选择局部共形坐标，使得U被表示为圆盘，由存在性证明我们知道映射 是连续映射，其弱导数可以由极限得到：

由此小节中的像点双曲距离估计，我们得到此极限有上界，即 。由于 为弱调和映射，在弱意义下满足条件:

,

由弱导数模的估计 ，我们得到等式右侧属于 ，由此我们得到映射u具有赫德尔连续的一阶导数，即 。因为 ，上式右侧赫德尔连续，属于 ，因而u具有赫德尔连续的二阶导数，即 。如此重复，我们得到映射 无穷阶光滑。

唯一性

假设目标曲面 的黎曼度量 诱导负曲率 ，那么给定曲面上任意两点 ，则在每一个联结这两个点的道路同伦类中，存在唯一的测地线。假设光滑映射 ，其变分为 ，即

为光滑 同伦变换 。我们得到调和能量的函数 。如果固定任意一点 ， 是测地线，那么调和能量函数 的二阶导数为正，即 为严格凸函数：

如果存在彼此同伦的调和映射 ，我们构造联结它们的同伦 ，并且对于任意的 ，

是测地线。调和能量 为严格凸函数，并且在起点和终点处取到极值，即 起点和终点处的 一阶导数为0，这和 的严格凸性相矛盾。因此假设错误，在同一映射同伦类中，调和映射唯一。

这里，我们假设目标曲面处处具有严格负曲率。如果目标曲面曲率时正时负，那么有可能同一同伦类中，调和映射不唯一。

微分同胚性质

在度量曲面上成立 Bochner公式 ， 首先我们 定义辅助函数：

如果曲面之间的映射 为调和映射，那么我们有Bochner公式，