如何直观地理解三角函数的导数？

学过高等数学的你是否还记得这两个式子

这里给出的是三角函数 和 的导数，今天大小吴就和大家来聊聊如何直观地理解它们。

1 导数

我们知道，在微积分中导数是一个非常重要的概念，即函数的自变量 在一点 上产生一个增量 时，函数值的增量 与 的比值在 趋于0时的极限，记为

由上图也可以知道，当 点无限趋近于 点时，导数的几何意义便是函数 所代表的曲线在 点上的切线斜率。

2 计算三角函数的导数

通过导数的定义我们可以计算三角函数 和 的导数（以 为例）：

根据两角和的正弦公式

代入以上极限，得到

由极限（证明略）

得到

即

这样我们就得到了 的导数。

3 直观地理解三角函数的导数

通过上述计算我们同样也可以得到 的导数，但是你一定不想再来一遍了——因为整个过程略显繁琐与复杂。

那就让我们换一个角度——通过几何直观来看看到底什么是 和 的导数。

现在我们构造一个直角三角形，使其斜边长 ：

设其中一个锐角为 ，则两条直角边分别为 、 .

别忘了，现在我们要求的是 和 的导数，回忆一下导数的定义是什么，求导数需要什么？

是的，我们需要微小的增量 ！然后再看看 和 会发生什么变化。

对于角度 ，如果有一个微小的增量 ，会发生什么？想象一下（如果你想好了，就可以滑动图片查看）