今年是 2025 年，这个看似普通的四位数字，其实隐藏着丰富的数学奥秘。从质因数分解来看，它是一个完全平方数，可以写成
。除此之外，2025 这个数字在数字分解，求和以及各种特殊的数列中展现了其迷人的规律。从质因数分解到数论研究，2025 不仅仅是一个年份，更是一扇通向数论研究的窗口。在这篇文章中，我们将一同揭开 2025 的神秘面纱，探索它背后那些令人惊叹的数学性质和规律。或许，作为读者的你会发现，这个年份远比你想象的更加有趣。
在数学中，若一个数是一个整数的平方，则称这个数是
完全平方数
，简称平方数。逐一写出那就是
，这里的
代表某个正整数。而 2025 恰好是一个完全平方数，直接计算可以得到 45 乘以 45 等于 2025。同时，比 2025 略小的完全平方数是
，比 2025 略大的完全平方数是
。也就是说，在近代能够在一生中经历两个完全平方数年份的人必定是高寿之人。
另外，对 2025 这个数字的每一位都加上 1，它就变成了 3136，它依然是完全平方数，换言之，
。满足这个条件的自然数非常“稀疏”，通过计算可以得到：
，
都满足每一位加上 1 之后依旧是完全平方数，因为
。
在此基础上对 2025 进行质因数分解可以得到
，
在这个式子中，
这五个数字有且仅被使用了一次，通过乘法和幂运算就得到了 2025 这个数字。
如果对等差数列求和计算熟悉的读者，一定知道这样一个著名的故事，那就是数学王子高斯小时候计算从 1 加到 100 的故事，最终的答案是 5050。而这个数学公式就是等差数列的求和公式：
。
证明这个公式的关键就是首尾逐项相加之和相等。2025 恰好是 45 的平方，45 这个数字恰好又是从 1 加到 9 之和，换言之，
，那么
。
除了自然数的求和公式之外，数学家们还研究了自然数的平方和，立方和，甚至四次方和等公式。例如：
，
，
。
因此，
。所以，2025 可以进一步地写成
。
同时，2025 还可以表示为三个正整数的平方和：
。
九九乘法表是大家都非常熟悉的表格，当我们把表格中红框的所有数字求和之后，我们会发现它的和恰好就是 2025。因为，
。
哈沙德数
（Harshad number）是可以在某个固定的进位制中，被各位数字之和（数字和）整除的整数。在十进制中，100以内的哈沙德数是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100。通过计算我们可以得到 2025 恰好也是哈沙德数，因为
。
更巧的是，225 同样也是哈沙德数，因为
。所以说，2025 就是 2 重哈沙德数，换言之，
。
印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 – 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半，一半上写着 30，另一半写着 25。这时，他忽然发现
，
，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡布列克数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”。
雷劈数
是自然数的一类，它的定义是如果正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X的平方就是（n进位下的）一个雷劈数，又称卡布列克数。例如
，而
，那么 3025 就是一个雷劈数。
，而
，那么 2025 也是一个雷劈数。
而雷劈数有以下一些例子：
，
，
，
,
,
。
同时，雷劈数还有一个有趣的性质。如果
是雷劈数，且
，
是
位数，且
，那么
也是雷劈数。
证明：直接计算可以得到：
，
由于
，所以可以进一步得到：
