灵机一动 | 第306期 性别判定

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分析与解答

这是一个几何作图题，需要用到正方形的以下性质：如图1，已知P，M，Q，N分别为正方形边上的点，若PQ⊥MN，则PQ=MN。恰当运用这一结论，可还原正方形。

图1

作法：如图2，作 EI 垂直且等于 FH，作直线 GI，过点 H 作 GI 的垂线交 GI 于点 D，过点 E 作 HD 的垂线交 HD 于点 A，过点 F 作 AE 的垂线交 AE 于点 B，交 GI 于点 C。则 ABCD 即为所要作的正方形。

图2

证明：易知四边形ABCD为矩形，如图3，作CJ//EI 交 AB 于点 J，作 BK//FH 交 AD 于点 K。

由 EI 垂直且等于 FH，FH 平行且等于 BK，CJ 平行且等于 EI，可得 BK 垂直且等于CJ，∠ABK=∠BCJ，

故△ABK≌△BCJ，所以 AB=BC。

从而推出矩形 ABCD 为正方形。

图3

需要注意以下几个特殊情况：

（1）若 E，F，G，H 四点构成一个正方形，则四边形 EFGH 的外接正方形有无数个，如图4。

图4

（2）若所作的点 I 恰好与已知的点G重合，则直线 GI 就不唯一确定，这时分别过点E，G作 FH 的平行线，分别过点 F，H 作 EG 的平行线，所得的正方形 RSTU 也满足要求，如图5。

图5

（本期问题和答案将选自《黄东坡智慧大讲堂》八年级分册第33讲）

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