之前给大家分享过张景中院士所著《数学家的眼光》中的一篇科普短文
《数学家眼里的相同与不同》
（点击可查看，标题是我另加的哈）
，有网友表示“文章写得通俗易懂，真不愧是大家，读来甚是享受，希望能多多选择这样的科普短文”，还有的网对其中有限覆盖定理通俗易懂的解释拍案叫绝。确实，张景中的科普作品通俗易懂、思想深刻，读他的作品是一种享受，最近正在努力学习中，有合适的我会摘录下来分享给大家。不过呢，还是建议大家买原作来读一读更有感觉。今天再分享一篇介绍例证法的文章。
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作者 | 张景中
来源 | 《数学家的眼光》
用手扔一个石子，它要掉下来。再扔一个玻璃球，它也要掉下来。再扔一个苹果，它还是要掉下来。我们会想到：不管扔个什么东西，它都是要掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，认为是由于地球有引力。但是，我们并没有把每件东西都扔上去试一试。试了若干次，就认为可以相信这是普遍规律。这种推理方法，叫
归纳推理
。在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究中，用归纳推理来验证一条定律、一条假说是常有的事。理论对不对，用实验来验证。
数学研究似乎不是这样。你在纸上画一个三角形，用量角器量量它的三个角的大小，加起来差不多是180
。
。这样画上百个三角形来试验，发现每个三角形内角和都接近180
。
。而且量得越准，越接近180
。
。你能不能宣布，我用实验证明了一条几何定理“三角
形内角和是180
。
”呢？
老师早就告诉你了，这不行。要证明一条几何定理，要从公理、定义和前面的定理出发，一步一步地按逻辑推理规则推出来才算数。用例子验证是不合法的。
这表明，数学要的是
演绎推理
。
归纳推理只能作为提出猜想的基础，不能作为证明的依据。
归纳法与演绎法，是人类认识世界的两大工具。都是认识世界的工具，又何必这样水火不相容呢？
可是有些数学家，眼光偏偏与众不同。我国著名数学家
洪加威
，在1985年发表的两篇论文中，提出了新颖的见解。他用演绎推理的方法严格地证明了这么一个使人吃惊的事：
对于相当大的一类初等几何命题，只要用一个例子验证一下，便能断定它成立不成立！
这叫做几何定理证明的“
例证法
”。
根据“例证法”，要证明“三角形内角和等于180
º
”，画出某个“一般的”三角形仔细量量它的三角，确实是180
º，
我们就说这个命题成立。不过，要量得足够准确！
也许你不相信，也许你以为这里面包含了过于高深的数学理论。
恰恰相反，例证法的基本原理很平常，我一说你就能明白。
在你面前写一个等式:
(x+1)(x-1) =x
2
-1 （1）
你知道，这是个恒等式。因为用一下分配律：
(x+1)(x-1)=x(x-1)+(x-1)
=x
2
-x+x-1=x
2
-1
就给出了证明。
如果有人告诉你：取x=0代入(1)，两边都得-1；
取x=1，两边都得0；
取x=2，两边都得3。
这就表明(1)是恒等式。你怎么想呢？你可能不同意。恒等式嘛，必须是所有的x代进去都能使两边相等。才代了3个，凭什么断定它是恒等式呢？
有趣的是，这样取3个值代入后，确实证明了(1)是恒等式。道理很简单。如果(1)不是恒等式，它就是一个不超过二次的方程，这种方程至多有两个根；现在竟有3个“根”了，那它就不是二次方程或一次方程，所以一定是恒等式。
按照这个道理，要判断一个最高次数为3的等式是不是恒等式，只要取未知数的4个不同的值代入验算。4次等式用5个值，5次等式用6个值，n次等式用(n+1)个值代入。这是因为n次方程至多有n个根，如果居然有(n+1)个值代入都能使它两端相等，那它一定是恒等式。例如，要证明
X
3
+1=(x+1)(x
2
-x+1)
是恒等式，
只要取x=0,1,2,3 代入看看。一看，都对，这就证明了它是恒等式。这种方法叫做用举例的方法证明恒等式。因为证明一个恒等式要举几个例子，所以叫
多点例证法
。
如果又有人说，要证明(x+1)(x-1)=x
2
-1是个恒等式，不一定取x的3个值验算，只要把x=10 代入看看。这时两边都是99，所以它一定是恒等式。这么说对不对呢？
也许你会抗议。刚才明明说过，二次等式要用3个值代入验证，现在仅仅用x=10试了一下，为什么说就行了呢？
用x=10试一下就行，有它的道理。
用反证法。如果(1)不是恒等式，把它展开、移项、合并，得到一个方程
ax
2
+bx+c=0 (2)
从(1) 式不难看出，a、b、c都是整数，而且绝对值不会比5大，取x=10代入， 应当有： 10
2
a+10b+c=0 移项，取绝对值得
|100a|=|10b+c|≤10|b|+|c|
≤
55 (3)
于是a必须为0，因而
|10b|= |c|≤5 (4)
这就推出b必须为0。于是c也必须为0 了，这表明(1)是恒等式。
由此可见，要验证一个带有未知数的等式是不是一个恒等式，只要举一个例子。不过，这个例子里的未知数要足够大。
有时，等式会不止出现一个未知数。例如：
(x
3
+y
2
)(x
3
-y
2
)=x
6
-y
4
(5)
这个等式里有x、y两个未知数，关于x的最高次数是6次，关于y的最高次数是4次。验证时可以取x的7个值，如x=0、1、2、3、4、5、6，y的5个值，如y=0、1、2、3、4，交叉组合出一共。(6+1)×(4+1)=35组(x,y)代入验算，如果都对了，就证明(5)是恒等式。
也可以用一组(x,y)代入验算，但是x和y的取值都要很大，而且一个要比另一个大得多。具体到等式(5)，可以取y=10,x=100000。
等式里有更多的未知数的时候，仍然可以用例证法来判别它是不是恒等式。如果它含m个未知数，次数分别是k
1
,k
2
,…,k
m
，那么就要用
(k
1
+1)(k
2
+1)…(k
m
+1)
组未知数的值代入检验。
如果这个等式里系数都是整数，而且展开之后可以预估每项系数绝对值都不超过N-1，就可以用一组未知数的值来检验。这组未知数可以取以下形式:
这是一组大得可怕的数。
