我有多爱周杰伦，就多爱明朝那位真·音乐贵公子 | 游斯彬数学音乐专栏

文 | 游斯彬

来源 | Mathaholic游斯彬

最近，我赶了个时髦，一集不落的追起了中国好声音。这是为什么呢？因为这节目有我的青春——周杰伦。

周董当年横空出世之时，风靡万千少男少女，我也是其中之一。他的磁带被我放在床头，每天睡前都得听听。那时候，刮的风都是龙卷风，骑单车要去外婆家，数星星都是一颗两颗三颗四颗连成线，给出星星坐标求该直线表达式……

不过我最爱的歌，还是《她的睫毛》，因为你完全预料不到周杰伦下一句会给你听什么。

这首歌，开头很古典，第一段唱还是酷酷的，结果高潮一起全是阳光青春的感觉。相信很多人听到这首歌，都有和我一样的感受：“从没听过这种调调，但是真….好听！”

那为什么这歌如此与众不同呢？

答案是两个字： 转调 。

如今，转调在各种音乐中非常常见。《她的睫毛》更是凭借5次灵活的转调，使歌曲的色彩变得十分丰富。然而，以三分损益法为基础的乐理体系刚刚建立起来时，是不包含转调的。

（什么？三分损益法是啥？你需要补补课了！请移步上一篇：数学音乐专栏|石锤！学会陈奕迅高难度走音…就能自己做乐器（大概吧））

随着各种五花八门的乐器被发明出来，渐渐的，乐师们有了合奏的需求。某天，风和日丽，一个白衣侠士手执一笛，与另一黑衣琴手相遇于湖畔，他们侃天侃地侃音乐，真是高山流水觅知音。白衣侠士说“兄台，择日不如撞日，不如你我今日合奏一曲可好？”

黑衣琴手当即表示赞同，坐下身去抚起琴来。一句悠扬的琴音过后，白衣侠士执笛加入合奏。不料，笛声一起，两位侠士面面相觑。这哪还是音乐啊，简直噪音，因为两只乐器根部本不在一个调子上。

就好比，刀郎老师去演出，误用了王菲老师的伴奏，是一点都不搭。调子不同又无法转调，白衣侠士只能泪眼汪汪地看着对方：“兄台，千万等我，等我雕把同样调子的新笛子，咱们再叙！”

所以，不能转调的问题一直困扰着音乐家们，堪称音乐界“哥德巴赫猜想”。各路音乐家想尽办法，做了各种实验，最终由我们一位明朝老祖宗摘下了这颗明珠，并且只使用了一样工具： 算盘 。这位老祖宗便是明朝真王子—— 朱载堉 。纵观历史，无数的皇亲贵胄眼中，只能容下权力二字。可俗话说“林子大了什么样的鸟都有”，有那么几位皇室中（qi）人（pa）还真就拿错了剧本。比如，非土味情话作家李煜，走心派灵魂画手赵佶，还有咱们这位科学与艺术狂人老朱。长这样↓

朱载堉，朱元璋的第九世孙，正经八百的郑王继承人。受父亲郑恭王朱厚烷的影响，自小最爱的两门学科，一是音乐，一是数学。朱爸爸此人学识广泛，极精通音律，他自老朱还小的时候就一再跟老朱说，“儿子啊，这个三分损益法肯定有问题，一定有什么办法可以完美的实现转调。” 自此，老朱下定决心，要和老爸一起研究出可以转调的律法。

本来老朱可以和爸爸一起衣食无忧的做着学术研究，可他15岁的时候，出了变故。大概朱爸爸觉得，自己到底是个王爷，不能看着嘉靖皇帝一味地服用仙丹，迷恋道教。耿直的朱爸给皇帝上了一折子，大意是“皇上，垃圾食品不可多吃啊”。结果，嘉靖皇帝怒了，朕多吃点麦丽素怎么了。于是朱爸被囚，老朱索性于宫外建一小土屋，开始完全投入到自己的科学研究当中。

老朱的思路和前人大致相同，都是在十二律的基础上进行进一步的改造。那什么是十二律呢？十二律源自三分损益法，通过找音，将一个八度大致分为12个音。上一讲中，我们给出了按照三分损益法找“哆来咪发扫拉稀到”的频率比，今天我们就把完整12个音的比例给大家列一下，计算方式依然是通过（3/2）构造等比数列：

要说老朱的治学过程真是相当严谨，他做的第一件事情便是先整理、研究历史上所有对十二律的修正方法。老朱发现，为了保证转调，前人的做法都是先保留3/2、3/4这种重要比例，然后尽量使相邻的音之间的比例一致，什么意思呢？如果想满足完美转调，需要把上图中比例调整成下图的模式：

大家可能眼前一亮：这不就是一个完整的等比数列么！没错！老朱决定，既然我们需要让各音间的比例近似这个等比数列，我们为何不抛弃所谓的3/2和4/3，直接对这个等比数列求解呢？于是一道千古音乐谜题变成了一道数学题：已知一个等比数列，首项是1，末项是2，长度为13，求公比。而这也是历史上第一次有人对等比数列求公比。 很奇妙的是，音乐由数学而起，这一次，数学却在音乐的推动下得到发展。

确定了方法，接下来的问题就是算出这个公比。相信不少小伙伴已经有答案了，2的12次方根呗。可是精确值是多少呢？小伙伴们又说了，稍等，计算器按一下啊。的确，如果可以回到过去，我先去给老朱送个计算器，可惜暂时技术不支持。所以老朱没有了计算器，但是老朱表示：“没关系，我还有算盘！”。

由于，老朱的方法便是将2连开两次平方再开一次立方。由于老朱对精度要求很高，普通的算盘在这项大工程面前，只能沦为小玩具。所谓“工欲善其事，必先利其器”，于是老朱造了一对81档的超大算盘：

使用算盘开方的方法有很多种，最常用的一种大体上是将开方前的数每两位分为一组，然后从最左边一组开始，一点点向下减以推断出乘方前的数字是多少。可以想象开方一次就是相当耗时的工作。而老朱，需要开方3次，甚至将最终结果精确到小数点后第25位，没有足够的细心和耐心，绝对无法完成。而老朱就这样计算得到了十二平均律。

老朱依然不放心，因为十二平均律虽然可以转调，却破坏了原来标准的3/2和4/3比例。毕竟毕达哥拉斯大大说过，频率比例越简单，和声越动听，结果老朱直接将这些比例去掉了。毕叔叔表示“就一讲的时间，我就被抛弃了，真心塞。”

可老朱经过反复试验，发现十二平均律中的音保留了和谐的和声，这又是为什么呢？其实，以3/2为例，原来的频率比是3/2=1.5，在十二平均律中，对应的比例变为（（2）^1/12）^7=1.498，二者是非常非常接近的。请大家相信我，除非变异或者人类进化，否则真的听不出区别。因此十二平均律是完全可用的。

老朱当即决定，把这项伟大的发现上报朝廷。然而，毕竟明朝最关心的是“八股取士”，并没有人真的关心音律法则之改革。因此，目光短浅朝廷只回复了他三个字：“什么鬼？”大概后面还跟了4个字：“哈哈哈哈”。老朱的书被束之高阁，没有了大范围实践的机会，一颗明珠就此蒙尘。