Product Space Clarified: a Detour from (Attempted) Understanding Epstein and Zin(1989a)

Odds and ends · 知乎专栏 · · 2016-01-12 20:58

正文

题外话：分享一首正在听的歌曲：Aimer的 Believe Be:leave

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我们知道，对于可测空间的乘积空间我们一般定义为那个装备了“最小”的sigma-algebra，但在保证在各个分量上投影还是可测函数的前提下，或者开集的乘积这种形式的集合生成的最小的sigma-algebra。

一个问题是 $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)$ 和 $\mathcal{B}(X \times Y)$ 有什么区别。这里 $\mathcal{B}(\cdot)$ 表示在一个空间上生成的 $\sigma$ -algebra。

(Nedoma) 当 $X$ 的势大于 $\mathbb{R}$ 的势时，则 $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)$ 不等于 $\mathcal{B}(X \times Y)$ , 具体的，对角线对应的集合（ $\{(x,x) \mid x \in X\}$ ），作为一个闭集不属于 $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(X)$

证明的关键在于sigma-algebra的定义，这么一个集合的集合，是满足包含了所有开集，且关于补集和可数并（或可数交）封闭的集合的集合中“最小的”那个。所以当我们想证明sigma-algebra中的所有集合满足某性质 $P$ 时，我们只需构造这么一个集合的集合满足包含了所有开集，且关于补集和可数并（或可数交）封闭。我们需要证明的第一个命题是

如果一个sigma-algebra由可数个集合生成，那么它也可以又一个划分（partition）生成。

具体的， $\mathcal{S}$ 包含了一列 $E_0$ , $E_1$ , $E_3$ , 作为generating set，所有Borel set应可以写成 $F_1$ $\cap$ $F_2$ $\cap$ $\ldots$ 这样一列集合的交集 ,其中 $F_j$ 可以是 $E_j$ 或者 $E_j$ 的补集，.我们发现所有这样的可数交表示的集合构成一个partition，并且这个由这些cell（partition的元素）的任意并可以构成一个sigma-algebra。

任意的一个sigma-algebra的Borel set都可以只有generating set中的一个可数子集生成。

我们只需证明满足这样性质的所有集合构成的集合关于补集和可数交封闭即可。

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在这之前，我们便能够明白外什么经济学中的文献为什么喜欢用separable metric space（也有时候是Polish space）了。因为如果是 $X$ 是第二可数的，那么X $\times$ X亦然。

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那么我们的问题转换成diagonal set不能表示由可数个生成是 $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(X)$ 的开集生成。但这意味着我们可以把它表示成可数交的形式，所以至多由所有由0,1构成的数列构成的集合的势等于 $\mathfrak{c}$ 。但这个对角线集合确实是由比 $\mathfrak{c}$ 还要多的元素构成。所以必然有一个A $\times$ B（A, B为开集）或者 A $\times$ B的补集的形式的集合包含不止一个元素，即必然包含了(a,a)和(b,b)。但那样的话，它也必须包含 $(a,b)$ ,但这样就构不成对角线了。