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八丈金仙 | 辛酉丑故事数学专栏

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2020-02-25 07:00

正文

作者 | 重庆辛酉丑

回到家里，飞哥想来想去，决定探究那个问题。本来他不想研究那个问题，因为那个问题是纬虹提出的，在左邻右舍的眼里，纬虹就是一个混子，不仅读书不行，有时还捣蛋。他能提出有价值的问题吗？这是不可能的事。但是，纬虹这孩子有点小聪明，他知道飞哥不会理他，为了引起飞哥注意，他吹嘘梦到了八丈金仙，释迦牟尼佛告诉他一个火柴棍游戏：

将八根火柴棍竖直放成一排，从中拿一根放在与它间隔 2 根火柴的火柴棍上搭成一个叉，每搭一个叉都要遵守这一法则，怎样把它搭成四八叉？

!!!!!!!!

纬虹喜欢睁起眼睛说瞎话，飞哥看不惯他这种德性，装着没听见。纬虹看了看飞哥，又说：“黑哥和燕子姐都没做出来，你是数学大神，大家觉得只有你出马才能解决。”飞哥知道纬虹在激他，转身就往家里走。

飞哥边走边想：黑娃和燕子的数学很好，怎么可能做不出来？肯定和我一样，不屑解答纬虹的问题。纬虹这种混子上课很少听讲，怎么会想到这种问题？难道真的是佛祖提出的问题？

江城附近的潼南区有一座定明山，山下有座大佛寺，寺内大佛是佛、道二家共同凿造的摩岩饰金释迦牟尼佛，八丈多高，江城人称他为“八丈金仙”。佛祖结跏趺坐，庄严肃穆，金碧辉煌，双目炯炯传神，气势雄伟。大佛寺建造于唐朝咸通年间，历经千年风雨，香火鼎盛不衰。江城人有江城的规矩，潼南人有潼南的习俗，外地人叫赶庙会，潼南人不这样叫，他们称作“朝大佛”。不知是谁发起的，每个月农历初一、十五这两天，大佛寺人山人海，焚烧的香蜡纸烛数十万，即使破四旧期间也未间断。

母亲常说：“香火鼎盛的菩萨有灵性”。对于菩萨显灵，以前是不信的，甚至认为是迷信，菩萨就是一坨石头，要么硅酸盐，要么碳酸钙，不管多少人朝拜，不管烧多少纸钱，也不可能变成金刚石。父亲说：“我们不是迷信，是信仰，你才是迷信，读了几句书就开始迷信科学。‘香火鼎盛的菩萨可能真有灵性’，想一想，一个人得了重病，如果精神乐观，意志坚强，求生欲强，容易战胜病魔，这就是意念的力量。菩萨虽然是一块石头，但是，成千上万的善男信女去朝拜，大家一个信念，坚信大慈大悲的菩萨能普度众生，能度一切苦厄。一个人的意念可以战胜病魔，菩萨经历千多年善男信女的意念集聚，它不再一块普通石头，而是一块拥有超能力圣物。”

父亲的话不无道理，有了八丈金仙的庇佑，潼南从未出现大灾，年年风调雨顺。经常听到街头大妈谈论金仙帮助孕妇保胎、金仙帮助学生升学、金仙帮助镇长升官这些故事。奇怪的是，纬虹不是善男信女，金仙怎么会在一个混子身上显灵？难道是常年吃斋念佛的纬虹娘积了功德。

想到这里，飞哥拿出火柴棍开始摆弄，真不愧是数学大神，三下五除二，很快就找到了破解方法。

他先将 8 根火柴棍竖直放成一排

!\overset{\overset{\left(1\right)}{\leftarrow }}{!!!!} !!!

（表示第步把箭尾的火柴棍移动到箭头的火柴棍上搭成一个叉）

第一步把第五根火柴放在第二根火柴上搭叉，结果如图所示（表示两根火柴）

!\times \overset{\overset{\left(2\right)}{\rightarrow }}{!!!!} !

第二步操作见，结果如图所示

\overset{\overset{\left(3\right)}{\rightarrow }}{!\times !}!\times !

第三步操作见，结果如图所示

\times \times \overset{\overset{\left(4\right)}{\leftarrow }}{!\times !}

第四步操作见，结果如图所示

{\times}{\times}{\times}{\times}

如此简单的火柴棍游戏，完全是老奶奶级别的数学问题，黑娃和燕子不可能解答不了，一定是不屑解答纬虹的问题。八丈金仙怎么会提出这样简单的问题？想起孙悟空拜师学艺，菩提祖师用木鱼敲击他脑袋的故事，飞哥觉得这个问题一定隐藏玄机，也许是金仙用游戏来点化纬虹，让他迷途知返，回归课堂，把心思用在学习上。

既然按间隔两根火柴搭成叉这一法则，可以将八根火柴棍搭成四个叉。那么按间隔根火柴搭成叉的法则，能否将根火柴按这一法则搭成个叉？

如果按间隔根火柴搭成叉这一法则能把根火柴搭成个叉，那么与的关系是什么？

想到这里，飞哥明白了佛祖的良苦用心，心里暗自佩服佛祖的智慧。真是“佛遇有缘人，题遇爱好者”遇到飞哥这样的有缘人和数学爱好者，他立即展开研究，很快发现了 结论一 ：

如果为正奇数，无论多少根火柴，按间隔根火柴搭成叉的法则一定不能全部搭成叉.

证明：假设存在根火柴，按间隔奇数 k 根火柴搭叉的法则全部能搭成 n 个叉，如图 … （） … （共 n 个叉），加括号的 1 个叉表示最后两根火柴搭成的叉，则这两根火柴必然在其它个叉的空隙处，由于每个叉表示两根火柴，无论最后两根火柴在个叉的哪两个空隙，这两根火柴间隔的火柴数总是偶数. 这与间隔奇数 k 根火柴搭成叉的法则矛盾. 所以假设不成立, 从而结论一得证.

飞哥心里明白，按间隔根火柴搭成叉的法则中的只能取正偶数。他转念一想，又发现了 结论二：

如果有根火柴按间隙根火柴搭成叉的法则能全部搭成个叉，则按此法则也能把根火柴全部搭成个叉.

证明： 由题设可知，将根火柴竖直放成一排，如图所示

!!\cdots \cdots !!

必然存在 1 根火柴与左边第 1 根火柴间隔根火柴，那么可以把这根火柴放在左边第 1 根火柴上搭成叉. 如图所示

\times !!\cdots \cdots !!

（叉后还剩有根）

由结论二的条件可知：叉后边的根火柴能按间隔根火柴搭成叉的法则全部搭成叉，所以根火柴能按法则搭成个叉.

飞哥的思维如决堤洪水，一发不可收拾，突破一道道难关，在结论二的基础上又发现了 结论三：

如有 根火柴按间隔 2k 根火柴搭成叉的法则能全部搭成 n 个叉，那么按此法则也能把 根火柴搭成 个叉.

连闯几道关口，飞哥一点也不觉得疲倦，反而异常兴奋。“如果按间隔根火柴搭成叉的法则能把根火柴全部搭成个叉，说明一定比大，但是，究竟大多少？与之间存在什么关系？”飞哥额头渗出汗珠，百思不得其解。

飞哥的思维碰到坚固的壁垒，一次次冲闯，一次次失败，始终找不到破解方法。“ 与之间究竟存在什么关系？”一天过去了，两天过去了，依然找不到破解问题的钥匙。

“香火鼎盛的菩萨有灵性”，母亲的话语在耳边回响，飞哥想起了一件往事，那是初中时期，也许是重感冒，当时头痛得厉害，吃药打针都不见效果，街头医生认为不是普通感冒，怀疑是脑膜炎，不知道用了什么药，一针下去，第二天就说不得话，也走不了路，全家人慌了手脚。飞哥见母亲拿出香蜡纸烛，在阳台上摆放整齐，跪在地上对着金仙的方向作揖磕头，口中念念有词，祈求金仙保佑。父亲怪母亲分不清轻重缓急，应该赶紧送医院抢救。母亲说：“你们送医院抢救，我请金仙保佑，双管齐下，佛药两解。”送到江城医院，一切顺利，当天就化险为夷，三天就治愈出院。从那以后，飞哥痛恨庸医害人，坚信大医院的医生医术高超。

母亲却一个劲的说：“全靠金仙暗中保佑，一定要给金仙挂红还愿。”想到这里，飞哥决定请金仙帮忙，他在纸上写下数学问题，再把纸夹在两手之间，双手合十跪在地上，对着金仙的方向磕了三个响头，嘴里轻轻念道：“南无本师释迦牟尼佛，请给弟子一丝灵感，早日找到与的关系。”连续念了三遍，又磕了三个响头。然后继续探究这个问题，不知尝试了多种方法，经历了多次失败，直到第二天早上，飞哥脑子里突然闪现一丝亮光，仿佛听到金仙在说：“考虑最后四个火柴！”飞哥两手重重一拍，“对！假设其它火柴棍已经全部搭成差，再考虑最后四根火柴棍如何摆放。”飞哥坚信这就是灵感，他拿出纸笔，沿着这条思路研究，很快发现了 结论四：

如有根火柴按间隔火柴搭成叉的法则能全部搭成个叉，那么 n\geq 2k+2$.

证明： 因为根火柴按间隔根火柴搭成叉的法则能搭成个叉，所以，可以假设按法则已经把根火柴搭成了个叉，如下图：

\underset{n-2\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \times \cdots \times \times }}

剩下的 4 根火柴必在这个叉之间的空隙处，剩下 4 根火柴我们用、、、表示.

不妨设与、与能按法则搭成叉. 那么与间隔 2k 根火柴，如下图：

\times \cdots \times |_{a}\underset{\mathrm{k个叉}}{\underbrace{\times \times \cdots \times \times }}|_{b}\times \cdots \times

下面讨论与相对于、的分布.

（1）当与都在与之间，因与之间间隔火柴数为，则与之间间隔的火柴数必小于，显然，与不能按法则搭成叉.

（2）当与都在与之间，则与间隔火柴数必大于，所以，与不能按法则搭成叉 .

（3）当与只有 1 根在与之间，由于每个叉表示两根火柴，则与之间间隔火柴数必为奇数，这与与能按间隔根火柴搭成叉相矛盾 .

综上所述，与只能分布在的左側或的右側，并且与间隔火柴数为，如图所示：

\times \cdots \times |_{a}\underset{\mathrm{k个叉}}{\underbrace{\times \cdots \times }}|_{b}\times \cdots \times |_{c}\underset{k\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \cdots \times }} |_{d}\times \cdots \times

从上图中可以看出：至少有根火柴。

所以，火柴总数与间隔数的关系为 .即， .

看到这个结论，飞哥长长的舒了一口气，心里默默念道：“谢谢佛祖给我灵感！我一定将这些结论告诉黑娃、燕子和纬虹。”飞哥转念一想，黑娃和燕子很聪明，如果问起这个游戏怎样玩？我该如何回答呢？纬虹是个捣蛋鬼，特别喜欢玩游戏，如果他拿出 30 根火柴，按间隔 6 根火柴棍搭成叉的法则，让我教他搭成 15 把叉，又该怎么办呢？想到这里，飞哥越发佩服金仙至高无上的智慧，忍不住低声念道：“南无本师释迦牟尼佛，行深般若波罗密多时！”

“给定根火柴，如果按间隔根火柴搭成叉的法则，究竟能不能搭成个叉？如果能搭成个叉，有固定的搭叉方法吗？”

这个问题真的很难，如同一座大山挡住了飞哥前进的脚步。他首先想到从特殊到一般进行研究，拿了一大把火柴棍放在桌上，先令，，花了很久才搭出了 10 把叉；他又令，，在桌上摆弄火柴棍，累得筋疲力尽也没成功；如果，，情况肯定复杂，不知道需要多少时间才能搭成 18 把叉。即使搭出 18 个叉，仅靠这三次尝试，也难看出搭叉的规律。佛祖是怎样想的，飞哥参悟不透，虽然有些失望，却又不愿放弃。他吃饭在想，走路在想，满脑子全是火柴棍，书桌上横七竖八排列着一串串叉，这样持续研究了好几天，依然看不到一点希望，飞哥决定请金仙帮助。

他把数学问题写在纸上，把纸夹在两手之间，双手合十跪在地上，对着金仙的方向磕了三个响头，嘴里轻轻念道：“南无本师释迦牟尼佛，请给弟子一丝灵感，早日找到搭叉方法。”飞哥继续研究了几天，没有找到方法。他又把数学问题夹在两手之间，双手合十跪在地上，对着金仙的方向磕了三个响头，嘴里轻轻念道：“南无本师释迦牟尼佛，请给弟子一丝灵感，早日找到搭叉方法。”飞哥又研究了几天，还是找不到破解方法。他每天都这样跪在地上作揖磕头，有时一天两三次，这可吓坏了飞哥娘，“这孩子在作什么？难道抑郁了？”问起原因，飞哥一五一十告诉母亲，最后灰心丧气地说：“佛祖上次都给了我灵感，为什么现在不给灵感呢？我天天都给他作揖磕头，他也不给我一点灵感。”飞哥娘语重心长地教导他：“孩子，作人要讲诚信，要有感恩之心。你上次向金仙许了愿，金仙给了你灵感，你应该备上香蜡纸烛去还愿。你不还愿，金仙肯定不会再给你灵感，记得以前你生病的事吗？那年我买了两丈红绸去还愿。”

听了母亲的教导，飞哥买了香蜡纸烛和两丈红绸，专程到大佛寺还愿。他又将数学问题写在纸上，把纸夹在两手之间，双手合十跪在金仙面前磕了三个响头，嘴里轻轻念道：“南无本师释迦牟尼佛，感谢您给弟子的灵感。现在弟子又遇到一个难题，恳请佛祖再给弟子一丝灵感，早日找到搭叉方法，弟子一定会再来感谢您。”

当天晚上，飞哥做了一个梦，梦见自己走入一座灯光昏暗、雾气沉沉的迷宫，处处是墙壁，处处是巷道，一个巷道连着巷道，不知走了多少巷道，也不知重复了多少巷道，始终找不到出口，急得满头大汗，不停的用手掌拍打墙壁，大声问：“有人吗？”没有人回答，只有回音在巷道里回荡，正当飞哥快要绝望之时，突然墙壁“吱呀”声，裂开一条缝隙，透出一丝亮光，那缝隙愈变愈大，亮光越变越强，飞哥抓住机会侧身从缝隙中钻了出去，外面霞光四射，万树繁花，一个神仙模样的老翁从天上飘到飞哥面前，手中拂尘微微一挥，说道：“从反面入手。”随即化作一溜祥云消失在霞光之中。飞哥被惊醒，高呼：“佛祖显灵了!佛祖显灵了!”

飞哥明白，从反面入手相当于数学中的分析法，就是‘假设 2k+2 把叉已搭好，想办法把每个叉按法则拆开’，因为拆叉是搭叉的逆运算，只要能完全拆开，反过来就能完全搭成叉。

飞哥兴奋不已，睡意全无。立即起床按这一思路研究，果真解决了这个问题，得到了 结论五：

根火柴按间隔根火柴搭成叉的法则，必能全部搭成个叉.

证明：如果两根火柴按间隔根火柴搭成叉的法则能搭成叉，那么按间隔根拆开这个叉必能把这两根火柴放回原处（即具有可逆性），由此可知：如果根火柴按间隔根火柴搭成叉的法则能全部搭成个叉，那么将操作步骤逆向进行，一定能把个叉按间隔根火柴的法则全部拆开放回原处.

要证明结论五成立，只需证明排成一行的个叉能按间隔根火柴的法则全部拆开.

飞哥把个叉排成一行，如图所示.

\underset{2\left(k+1\right)\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \times \cdots \times \times }}

首先拆开第个叉，拿 1 根火柴放在第一个叉前，如下图所示.

|\underset{k\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \cdots \times }}|\times \cdots \times

再拆开第个叉拿 1 根火柴放在最后一个叉后，如下图所示.

|\underset{k\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \cdots \times }}||\underset{k\mathrm{个叉}}{\underbrace{\times \cdots \times }}|

下面将叉与火柴标上记号，后拆开的两根火柴用“ ”表示，如下图所示.

|\underset{1}{\times }\underset{2}{\times }\cdots \underset{\mathrm{k}}{\times }|\uparrow \overset{1}{\times }\overset{2}{\times }\cdots \overset{k}{\times }\uparrow

第 1 步：因与之间有根火柴，可以将拆开拿 1 根放于后的空隙处，如下图所示.

|\underset{1}{\times }|\underset{2}{\times }\cdots \underset{\mathrm{k}}{\times }|\uparrow |\overset{2}{\times }\cdots \overset{k}{\times }\uparrow

第 2 步：因与之间有根火柴且前有连续 3 根火柴，所以可拆开拿 1 根放于前第 2 根与第 3 根间的空隙处（即箭头前），如下图所示.

|||\underset{2}{\times }\cdots \underset{\mathrm{k}}{\times }||\uparrow |\overset{2}{\times }\cdots \overset{k}{\times }\uparrow

第 3 步：因与间有根火柴，可拆开拿 1 根放在后的空隙处（即箭头后）

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